Veneno

 

El problema que sigue está girando en las redes sociales desde hace mucho tiempo. Supuestamente apareció entre una serie de preguntas que tuvieron que contestar aspirantes a trabajar en Google. Sea cierto o no, el problema es precioso y merece la pena invertir tiempo para pensarlo.

Es muy diferente de lo que uno está acostumbrado a pensar. No se trata de encontrar “la” solución sino de pensar una estrategia conducente. ¿Cuántas oportunidades tiene usted de pensar sin presión y solamente por placer? ¿Y si se le ocurre alguna idea que nunca había tenido antes? ¿Se va a robar usted misma/o de esa oportunidad? Sígame por acá.

Arriba de una mesa hay ocho frascos iguales. Todos contienen un líquido inocuo (que podría ser agua), salvo uno que contiene veneno para ratas. Se sabe además que si una rata consume ese veneno, se muere exactamente en diez minutos desde que lo probó. Como usted se imagina, el objetivo es tratar de encontrar cuál es el frasco con el veneno. Una manera posible sería pedir que le den una rata, elegir un frasco y darle a beber el contenido al animal. Espera entonces diez minutos. Si no se muere, pasa al segundo frasco. Siguiendo con esta idea, es seguro que va a encontrar cuál es el que contiene el veneno. Pero si yo le dijera que usted tiene exactamente diez minutos para determinarlo, esa estrategia no serviría.

Hagamos eso entonces. Usted tiene ahora diez minutos para encontrar ese frasco. Con esta restricción, usted advierte que con una sola rata no le va a alcanzar. En cambio, fíjese que si usted pidiera ocho ratas, bastará con asignarle a cada rata uno de los frascos, darle el líquido que contiene para que lo beba y esperar los diez minutos. Seguro que una de las ratas se tiene que morir. El frasco del cual tomó será el indicador que buscamos.

Hasta acá quería llegar. Evidentemente con ocho ratas el problema tiene solución. ¿Se podrá encontrar el frasco que contiene el veneno con menos ratas?

La respuesta es que sí, que se puede. Más aún, el objetivo es determinar cuál es el número mínimo de ratas necesarias para detectar cuál es el frasco con el veneno.

Antes de cederle el turno, permítame que le haga una sugerencia más: empiece con menos frascos. Suponga que tiene cuatro frascos en lugar de ocho. Fíjese si puede encontrar cuál es el que tiene el veneno con menos de cuatro ratas y después, vea si este ejemplo le permite ‘imaginar’ qué hacer si tiene ocho frascos como en el enunciado original. Ahora sí le toca a usted.

 

Ideas

Para empezar, quiero contarle lo que me fue pasando a mí, y en el camino, proponerle que si usted cree que alguna idea puede servirle, detenga inmediatamente la lectura y fíjese si puede seguir por su cuenta.

Como le propuse más arriba, suponga que tenemos cuatro frascos en lugar de ocho. Por supuesto, cuatro ratas alcanzan, pero la idea es encontrar el veneno usando menos roedores. ¿Se podrá con tres? ¿Cómo hacer?

Le propongo lo siguiente. Numere los cuatro frascos: 1, 2, 3 y 4. Separe el frasco número 4 y por ahora no lo toque. A cada una de las tres ratas, le da para que beban el líquido de los frascos 1, 2 y 3 respectivamente, y espere los 10 minutos. Si pasado ese tiempo se muere alguna de las ratas, eso le servirá para identificar cuál es el que contiene el veneno. Por otro lado, si pasado ese tiempo todas las ratas siguen vivas, eso significa que el veneno está... ¡en el frasco que usted se guardó, el número 4! Es decir, con tres ratas hay una estrategia posible.

Ahora bien: ¿se podrá con dos? ¿No quiere pensar usted por su cuenta? Si sigue leyendo aparecerá la solución que estamos buscando.

Sigo. Voy a llamar A y B a las dos ratas.

A la rata A, le doy para que beba de los frascos 1 y 3.

A la rata B, le doy para que beba de los frascos 2 y 3.

Ahora, espero los diez minutos. ¿Qué puede pasar?

Si pasado el tiempo no se muere ninguna rata, es porque el veneno no está ni en los frascos 1, 2 y 3 (ya que entre las dos ratas consumieron de esos tres frascos). ¿Qué se deduce entonces? Tal como usted advierte, eso significa que el veneno... ¡está en el frasco del cual no bebieron, del número 4!

Si se muere la rata A solamente, eso significa que el veneno está en el frasco número ‘1’. ¿Por qué? Si bien la rata A tomó de los frascos 1 y 3, si el veneno hubiera estado en el frasco 3, entonces la rata B... ¡también se tendría que haber muerto! Como no es así, si se murió solamente A, ¡el veneno está en el frasco 1!

Si la que se muere es solamente la rata B, por el mismo argumento, el veneno está en el frasco 2 (ya que si estuviera en el 3, también hubiera muerto la rata A). Por último, si se mueren las dos ratas, es porque el veneno está en el frasco 3 ya que fue el único frasco del que tomaron las dos. Y esto cubre todos los casos. Con cuatro frascos, fueron suficientes dos ratas.

Antes de avanzar, permítame extraer otra conclusión que después va a servir cuando tengamos más frascos. El argumento central de lo que hice con cuatro frascos, es que analicé todos los posibles casos de muerte de las dos ratas. Es decir, son cuatro casos potenciales: que no se muera ninguna, que se muera la rata A solamente, que se muera la rata B solamente y por último, que se mueran las dos. En cada uno de estos casos, queda unívocamente determinado el frasco.

¿Y con ocho frascos? ¿Cómo utilizar las mismas ideas? ¿Cuáles son los casos posibles con tres ratas? Llamémoslas A, B y C. ¿Qué casos posibles hay?

1. No se muere ninguna.
2. Se muere solo A.
3. Se muere solo B.
4. Se muere solo C.                             (*)
5. Se mueren A y B.
6. Se mueren A y C.
7. Se mueren B y C.
8. Se mueren A, B y C.

 

¿Qué se deduce de esto? Son justo ¡ocho casos! Eso quiere decir que... ¡alcanzan tres ratas! ¿Por qué? Es que si distribuyo adecuadamente los líquidos de cada frasco y le doy una mezcla diferente a cada rata, todo lo que tengo que hacer es esperar que pasen los diez minutos. Dependiendo de cuáles ratas se mueran, podré determinar exactamente cuál es el frasco que contiene el veneno [1].

Fíjese ahora en lo que escribí en (*). Cuando tenga los ocho frascos, tengo que utilizar esta estrategia:

A la rata A, le doy líquido del frasco 2, 5, 6 y 8.

A la rata B, le doy líquido del frasco 3, 5, 7 y 8.

A la rata C, le doy líquido del frasco 4, 6, 7 y 8.

Listo. Con esa distribución, voy a poder identificar exactamente cuál es el frasco que tiene el veneno. ¿Por qué? Por ejemplo, si se mueren las ratas A y C, voy hasta (*) y me fijo: ¿de qué frasco tomaron ellas dos nada más? La respuesta es que tomaron del frasco 6, y eso identifica el veneno. Si se murieran las tres, es porque el veneno está en el frasco 8. Si muriera solamente C, es porque el ‘frasco de la muerte’ es el frasco 4. Como usted advierte, con esta idea se resuelven todos los casos posibles.

¿Moraleja? Podría sacar varias, porque si se fija, para cuatro frascos (o menos), alcanzan dos ratas, para ocho frascos (o menos), bastan tres roedores, y si sigue, podrá verificar que para 16 frascos o menos, alcanzan cuatro, para 32 frascos (o menos), alcanzan cinco... ¿Qué relación hay entre todos estos números? Son todas potencias de 2. En el caso de cuatro frascos, como 4 = 2², hacen falta dos ratas. Como 8 = 2³, hacen falta 3 ratas. En el caso de 16 frascos, 16 = 2⁴, hacen falta 4 ratas.. y en general, para cualquier número n , si uno tiene 2ⁿ (o menos frascos), alcanzan n ratas [2].

Una conclusión más. Permítame escribirlo de esta forma: no importa si usted llegó a la solución o no, créame. ¡El camino es lo único que interesa! El hecho de haber intentado, de saber (o intuir) que se podría con menos, le hizo hacer un esfuerzo que le reveló una ruta que usted, muy posiblemente, nunca había usado con anterioridad. ¿Cómo hace para saber ahora, que esta misma ruta no le servirá más adelante, aunque sea para decidir que es inconducente y no vale la pena recorrerla?

Es la matemática más pura y extremadamente bella y está allí... al alcance de todos. ¿No me cree?

 

 

[1] Lo que estoy haciendo es asociar cada frasco con una de las posibles variantes de muertes de ratas. A cada situación posible, le asigno un número de frasco. Cuando pasen los diez minutos, me fijo qué ratas se murieron y esa variante indicará cuál es el frasco que tiene el veneno.

[2] Como usted advierte, lo que yo probé acá es que si uno tiene 2ⁿ  frascos, entonces n ratas son suficientes para resolver el problema. Pero lo que no hice (y creo que no sabría cómo hacer), para demostrar que n es el mínimo número necesario para encontrar dónde está el veneno. Es decir: si uno tiene 2ⁿ frascos ¿se podrá descubrir cuál tiene el veneno con menos de n ratas?

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