Un problema espectacular de John Conway

 

Lo relata Tanya Khovanova. Dedíquele un rato y verá cuán interesante, entretenido y valioso es este problema. Es un verdadero desafío y todo lo necesario para entenderlo y resolverlo, usted lo tiene. Le cuento.

Con el título de “Gemas y Curiosidades en la Matemática”, Tanya Khovanova cuenta en una columna del año 2009 un problema que le envió John Conway. Yo lo leí y en el momento no logré entender por qué habría de tener Tanya semejante excitación. Sí, el problema parecía de enunciado sencillo e interesante para pensar, pero de ahí, a decir que (y la cito textualmente):

“Esta columna es un lugar en el que encontrará esas pequeñas grageas o gemas de la matemática, que son ‘contagiosas’, que viajan de persona a persona en la comunidad, porque son tan elegantes, sorprendentes o atrapantes que uno siente la ‘urgencia’ de comunicarlas”.

Claro, con ese preámbulo me quedé atrapado y empecé a leer el texto con el problema. Dice así.

"Ayer por la noche, venía en un ómnibus sentado detrás de dos hechiceros. Esta fue parte de la conversación que escuché".

A : “Yo tengo varios hijos. Si sumo las edades, obtengo el número de este colectivo. En cambio, si las multiplico, obtengo ¡mi edad!

B: “¡Qué interesante! Si usted me dijera su edad y cuántos hijos tiene, quizás podría tratar de deducir sus edades. ¿Qué piensa usted?”

A: “No, vea: aunque yo le dijera mi edad y la cantidad de hijos que tengo. igual usted no podría deducir las edades de cada uno”

B: “Pero con eso que me dijo ya deduje su edad. Ahora YA SÉ cuántos años tiene”  

Ahora bien: con todos estos datos que escribí más arriba...

¿Cuál es el número del colectivo? ¿Se puede deducir?

Voy a llamar así:

a = edad de A, del hechicero

b = número que lleva el colectivo

c = número de hijos que tiene A

Analicemos algunos casos particulares. Está claro que la solución (si la hay) no se me va a ocurrir sin hacer algunos intentos, probando.. y sobre todo... ¡errando!

 

El recorrido

Voy a empezar con un ejemplo. Voy a suponer que 5 es el número del colectivo, o sea   b = 5.

Recuerde que esto es una suposición. Quiero ver si somos capaces de intuir o descubrir por dónde ‘entrarle’ al problema para buscarle la solución.

Si b = 5, esto significa que la suma de las edades de los hijos de A tiene que resultar 5. ¿Cuáles podrían ser estas edades y cómo dependerá del número de chicos que tenga A?

¿Por qué pregunto esto? Acompáñeme por acá y fíjese en estos diferentes casos.

Voy a escribir la lista de todas las edades que podrían tener los hijos de A [1] y, de acuerdo con el caso, la edad que tendría A y el número de hijos.

1. 1, 1, 1, 1 y 1. Si así fuera, A tendría 5 hijos todos de 1 año. La suma de las edades (que resulta 5) sería el número del colectivo (b), el producto resulta 1 (ya que es el número 1 multiplicado por sí mismo 5 veces), por lo que a = 1, y por último, c = 5, porque es el número de hijos que tiene A.
2. 1, 1, 1 y 2. Es decir, A tiene 4 hijos, tres de un año y uno de dos. La edad del hechicero A, se obtiene multiplicando las cuatro edades: 1 * 1 * 1 * 2 = 2, lo que indica que a = 2 (edad del hechicero) y por último c = 4 (ya que c indica el número de hijos que tiene A).
3. 1, 1 y 3. En este caso, el hechicero tiene 3 hijos, dos tienen un año y uno solo tiene 3. En este caso, a = 3 (edad del hechicero), y c = 3 (número de hijos)
4. 1, 2 y 2. En este caso, A tiene otra vez 3 hijos, pero ahora tiene uno de un año y dos de 2 años. En consecuencia, a = 4 (la edad del hechicero) y c = 3
5. 1 y 4. Ahora A tiene dos hijos de uno y cuatro años respectivamente. Luego, a = 4 (multiplicando las dos edades) y c = 2.
6. Por último, 5. Es decir, A tiene un solo hijo de 5 años, y por lo tanto él (A) tiene 5 años también (ya que hay un solo número para multiplicar, el número 5). Se tiene a = 5 y c = 1 (número de hijos).

Estos seis casos engloban todos los posibles en donde el número del colectivo es 5. Fíjese que en los casos en los que la edad del hechicero (a), fuera 1, 2, 3 o 5 años, conociendo nada más que esa edad podríamos deducir cuántos hijos tiene y qué edades tienen. El único caso en el que no podríamos decidir es si a = 4, porque allí aparecerían los dos ejemplos que figuran en la lista con las letras (d) y (e).

Moraleja: salvo en el caso a = 4, en todos los demás ¡sí.. podríamos deducir lo que queremos! Es decir, la edad del hechicero y el número de hijos que tiene sirve para determinar... ¡unívocamente! ...cuáles son sus edades.

En consecuencia, cuando el hechicero contestó (y verifíquelo más arriba): “No, vea.. aunque yo le dijera mi edad y la cantidad de hijos que tengo, igual usted no podría deducir las edades de cada uno”, esa frase sería equivocada... ¡salvo que a = 4! Luego, el número del colectivo... ¡no puede ser 5! Más aún: si usted hace la misma reflexión para los números menores que 5 (1, 2, 3 y 4), verá que ninguno de esos cuatro números puede ser el número del colectivo: ¡El colectivo tendrá que llevar un número mayor que 5!

De acuerdo.. ¿pero cuánto mayor? ¿Y cómo lo descubrimos?

Una manera de (intentar) resolver el problema, es empezar a probar uno por uno, todos los números a partir del 5. Seguiríamos con el 6, 7... etcétera, hasta encontrar (si existe) algún número que pudiera llevar el colectivo, de manera tal que conociendo....¡NADA MÁS QUE ESE ‘numerito’! ...podríamos deducir todos los datos que nos faltan. ¿Se podrá?

Por supuesto, aunque no lo haya escrito explícitamente, siéntase libre de detener su lectura y avanzar usted por su cuenta. Yo elegí el número 5 como potencial número del colectivo, y a partir de allí saqué/sacamos algunas conclusiones, pero usted elija el camino que prefiera.

Por un momento, en lugar de ir saltando de a uno, voy a elegir otra idea. Voy a analizar lo que sucedería si el número del ómnibus fuera el 21. Pensemos juntos.

¿Qué quiere decir que el número sea 21? Esto dice que las edades de los hijos de A (sumadas) llegan a 21. ¿De cuántas formas puede suceder esto? Es decir, ¿de cuántas formas se puede sumar 21 con varios números positivos?

Por ejemplo, podría suceder que el hechicero A tuviera 96 años. ¿Cómo? Sí, fíjese que si A tuviera tres hijos, cuyas edades fueran: 1, 8 y 12, en ese caso, la suma de las edades da 21 (que es el número del colectivo), y el producto (1*8*12=96) es la edad de A. ¿Habrá alguna otra combinación de número de hijos y edades? ¿Quiere pensar usted?

La respuesta es que sí, que hay otra forma. A podría tener tres hijos, pero cuyas edades fueran 2, 3 y 16. La pregunta muy importante acá es la siguiente: con estos datos, ¿puede deducir B que la edad de A es 96?

Curiosamente, la respuesta ahora es que no, no puede. ¿Por qué? Es que B podría deducir que A tiene 240 años y tiene además tres hijos de edades 4, 5 y 12, o si no, tres hijos de edades 3, 8 y 10. Luego, el número 21...¡no puede ser el número del ómnibus!, ya que B no podría deducir la edad A: no sabría, por ejemplo, si es 96 o 240.

¿Y si aumento en uno? Si en lugar de pensar en que el número de colectivo es 21, ahora fuera...¡22! ¿Qué pasaría ahora?

En este punto le pido que me preste atención, porque en lugar de seguir haciendo más cálculos, quiero proponerle que hagamos ‘algo’ que nos va a servir para descartar muchísimos casos... todos al mismo tiempo. ¿Cómo hacer?

Tenga presente lo que recién hicimos para 21.

Ahora pasemos a 22 (número del colectivo). La edad de A (del hechicero), sería ambigua una vez más. ¿Por qué?

a) Por un lado, podría ser que A tuviera 96 años con cuatro chicos: 1, 1, 8 y 12. O por otro lado, podría también tener 96 años, también con cuatro chicos, pero ahora, con edades: 1, 2, 3 y 16.

b) Si no, podríamos pensar que A tiene 240 años con cuatro niños: 1, 4, 5 y 12... o si no, 1, 3, 8 y 10.

¿Se da cuenta de lo que acabo de hacer?

Incrementé en uno el número del colectivo (de 21, pasé a 22).

Por otro lado, puedo aumentar el número de chicos en uno. Como el nuevo niño tiene un año, no agrega nada al producto, por lo que no modifica la edad del hechicero respecto del caso anterior (cuando el número del colectivo era 21 y no 22 como ahora). Pero ahora, hay un niño más, la suma de las edades se incrementa en uno, pero... ¡el producto permanece constante!

En consecuencia.. ¡y esto era a lo que quería llegar!... si el ómnibus con número b mostraba la ambiguedad para determinar la edad de B (antes eran edades 96 o 240 años), ¡exactamente lo mismo sucederá con el ómnibus (b+1)! 

Es decir, lo que impedía que b fuera el número del colectivo (por la ambiguedad que generaba), esa misma ambiguedad se traslada al caso (b+1), y lo notable entonces es que, lo que no servía para b ahora no sirve tampoco para (b+1). Si el colectivo con número b tenía dos posibilidades para la edad de B, ¡esas mismas edades servirán para el caso en el que el colectivo tenga número (b+1). Es por eso que no hay que chequear nada más desde el 21 en adelante. Creo que ahora usted advierte lo que pasa: como no servía 21, entonces no solo no sirve 22, sino que con este argumento puedo/podemos concluir, que ....¡no sirve para ningún número mayor que 21!

Lo extraordinario es que ahora el problema se ha transformado en una búsqueda finita.Todo lo que hay que hacer (o tenemos que hacer, usted y yo), es verificar si el problema tiene respuesta cuando el número del colectivo es... por un lado, mayor que 5, y por otro lado, menor que 21. 

Le sugiero que usted se entretenga el tiempo que quiera hasta llegar a la conclusión final. Yo, mientras tanto, me apuro y le propongo la solución: el número del colectivo tiene que ser 12. Y de acá se deduce que: ¡la única edad para la cual el número del colectivo y el número de hijos... no define las edades de los niños es 48. 

Las edades de los niños tienen que ser: 2, 2, 2, y 6 ... o si no, 1, 3, 4 y 4.

Si usted termina los cálculos verá que en el caso 2, 2, 2 y 6, el colectivo tiene número 12, y la edad de A es 48 (ya que 2*2*2*6 = 48), pero por otro lado, si analizamos 1,3,4 y 4, la edad de A ahora es 48  (ya que 3*4*8 = 48)

De esta forma queda completo el análisis. El número en el colectivo (u ómnibus) es 12, hay cuatro niños cuyas edades pueden ser (1,3,4 y 4) o (2,2,2,6) y el hechicero A tiene 48 años. ¡Y listo!

 

 

[1] A los efectos de la discusión, estoy minimizando (o directamente ignorando) el hecho de que nadie puede tener hijos a los 5 años y mucho menos que padres e hijos tengan la misma edad. Por eso le propongo que me conceda esa licencia y avancemos.

 

 

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