Tongo
Cuando las matemáticas ayudan a probar la existencia del fraude
Qué título, ¿no? Más aún: la palabra “tongo” hasta suena pornográfica. Pero no... no quiero hablar de pornografía. Me explico. Las líneas que siguen están basadas en un artículo que apareció en la edición del 3 de octubre del año 2014 en El Periódico de Badalona, uno de los diarios españoles que se vende predominantemente en Cataluña (1).
El título de la nota es: “Ola de acusaciones de tongo en el examen de la policía de Badalona”. Puesto en esos términos, ya me dieron ganas de leerla pero, además, quien me advirtió del texto fue mi querido amigo y matemático Carlos D’Andrea, quien es profesor en la Universidad de Barcelona.
Carlos me escribió: “Adrián, leé la nota y fijate cómo la matemática les permitió a los acusadores encontrar argumentos para sostener su posición”.
Eso hice y acá estoy. La historia –en resumen– es que habida cuenta de las vacantes que se habían producido en la Guardia Urbana de la ciudad (Badalona), se abrió un concurso de aspirantes para llenarlas. La forma de selección incluía un examen que consistía en 90 preguntas. El puntaje máximo era de 20 (veinte) puntos. Se presentaron 670 candidatos pero solamente 486 entregaron la hoja con las preguntas.
De ellos, sólo aprobaron 12 (doce). Como dice el diario, “hasta acá, nada anómalo”. Sigo. Lo notable es que seis de ellos lograron notas significativamente más altas que todo el resto. Y acá me quiero detener e invitarlo a que mire el gráfico. Revise los datos y piense lo que le sugiere a usted.
En vista de estos resultados, uno de los denunciantes analizó estadísticamente los 486 resultados y para ello usó lo que se conoce con el nombre de la campana de Gauss. ¿Qué quiere decir esto? No me abandone ahora que la idea es muy sencilla. Solamente me voy a referir a este ejemplo particular, el del examen.
Como el mínimo puntaje era cero (obviamente) y el máximo que podía obtener quien contestara todo bien era 20, se agrupan los exámenes que obtuvieron notas entre 0 y 1, los que sacaron entre 1 y 2, los que sacaron entre 2 y 3... y así siguiendo, hasta que el último segmento corresponde a los que sacaron entre 19 y 20. Una vez hecha esa división, se suma el número de exámenes que obtuvieron esos puntajes y se coloca una “franja” (como se ve en el cuadro) donde la altura representa ese número. Por ejemplo, el número 70 que aparece arriba del segmento que va entre 5 y 6, quiere decir que hubo 70 exámenes que tuvieron esas notas. Justamente, las alturas van marcando las distintas concentraciones que se produjeron.
Con la misma idea, fíjese que el número 95 corresponde a las personas que obtuvieron entre 6 y 7, y lo interesante es que allí se concentró el número máximo de exámenes.
Si usted mira lo que sucede a los dos costados de esa franja, aparecen los números 70 y 73, que corresponden al número de exámenes que obtuvieron entre 5 y 6, y los que obtuvieron entre 7 y 8, y a medida que uno se va alejando hacia cada uno de los dos extremos, las alturas disminuyen, lo que indica que son menos las personas a quienes les fue cada vez peor o cada vez mejor.
Si uno tuviera que trazar una curva vería que la forma que va tomando es la de una campana. Este tipo de análisis y de distribución fue detectado por Gauss y de allí que reciba el nombre de “la campana de Gauss”. A pesar de que yo lo diga como al pasar, todo el desarrollo que hizo quien es considerado El Príncipe de la Matemática merece otro tipo de atención, pero no es aquí ni el lugar ni el momento. De todas formas créame que vale la pena dedicarle algún tiempo para leer sobre la vida de esta persona increíble.
Me apuro a escribir que no todo en la vida tiene una distribución normal o admite una campana de Gauss como descripción del fenómeno, pero si usted quiere pensar en otros ejemplos, imagine las alturas de las personas que viven en una ciudad, o la distribución que se obtendría si uno analizara los kilogramos que pesa cada uno. En el caso de las alturas, supongo que la mayor concentración de personas estará arriba de los que miden entre 160 y 170 centímetros, así como la de los pesos debería estar por encima de los que varían entre 60 y 70 kilos. Siguiendo con estos ejemplos, los que miden por debajo de 130 centímetros o están por arriba de los 2 metros figurarán a ambos costados ya que serán muchos menos, y los que pesan 30 kilos o 150, también.
Pero quiero volver al ejemplo. Como escribí más arriba, en el gráfico que apareció en el diario de Badalona sólo se reflejan los datos de 486 personas que fueron quienes entregaron la prueba. Es fácil descubrir la forma de campana que tiene la distribución de las notas. Si uno suma el número de personas que obtuvieron entre 4 y 10 obtiene 397 (ya que 60+70+95+73+55+44 = 397) y eso representa casi el 82 por ciento de los casos que fueron evaluados.
Sin embargo, como usted advierte, el mismo gráfico tiene una “curiosidad” añadida: sobre el sector derecho, aparecen seis personas que obtuvieron entre 17 y 19 (nadie sacó el puntaje ideal). Y esa es una anomalía que requería prestarle atención.
Eso fue lo que hizo un grupo de los que rindieron el examen: entusiasmados por el descubrimiento, buscaron antecedentes sobre las personas que “sobresalieron”. Los periodistas del diario los ayudaron y concluyeron que de los seis, dos de ellos son hijos de dos de los actuales escoltas personales del alcalde de la ciudad y otros tres son hijos de otros agentes de la Guardia Urbana. Hasta este momento no pudieron encontrar ningún parentesco que invitara a la sospecha del sexto aspirante.
Una vez que tuvieron estas herramientas, analizaron el examen desde otro lugar. La persona que obtuvo el puntaje mayor contestó 82 preguntas correctamente, se equivocó en dos y dejó seis en blanco, y el que más se equivocó de los seis también respondió bien 82, se equivocó en siete y no contestó una. Justamente estos seis casos invitaban a sospechar en algún tipo de anomalía. Eso los llevó a investigar algunas de las preguntas y cuestionarse cómo era posible que algunos pudieran contestarlas sin despertar la sospecha de “tongo”. Uno de los acusadores declaró: “Algunas preguntas eran imposibles de responder”. Por ejemplo, una de ellas pedía contestar cuál es el porcentaje de desocupación juvenil que hay en Europa de acuerdo con lo que publicó la edición digital del diario El País (???). Teniendo en cuenta que el examen fue en septiembre y esa nota había salido en el diario en marzo, la pregunta parece –para ser generosos– muy “rara”. Lo curioso es que no se pide el dato de la desocupación, sino el dato publicado por la edición digital de un diario. Otra pregunta fue: “¿Cuál es la forma política de Japón?”. Como dicen los periodistas del diario, parece una pregunta extraña para hacerle a alguien que pretende ser agente de la policía municipal de Badalona.
A esta altura, supongo que, como a usted, el problema que hay en Badalona dejó de interesarme, pero lo que sí quería remarcar es cómo la matemática vino en socorro de aquellos que sospechaban que había habido o bien “tongo” o bien “fraude” o que alguien les pasó los datos sobre 82 de las 90 preguntas, y que curiosamente cinco de los seis afortunados tenían una relación de parentesco con autoridades locales: ¡toda una casualidad!
(1) Badalona es una ciudad que está 12 kilómetros al noreste de Barcelona, en Cataluña. El artículo original se puede encontrar acá:
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