Probabilidades de ganar

 

Hace un tiempo escribí sobre diferentes variantes de lotería que se juegan en Alemania. Me enteré de ellas a través de diversos matemáticos conocidos ya que varios estuvieron haciendo cálculos para estimar cuál es la probabilidad de ganar.

El caso que quiero ofrecer acá, merece un análisis diferente y que me resultó particularmente atractivo. Le propongo que lo analicemos juntos.

Suponga que estamos juntos en alguna ciudad alemana y que usted quiere jugar a la lotería. Yo trato de disuadirla/o pero, es su dinero y usted es una persona adulta, así que no me queda más remedio de cooperar de la mejor forma que pueda. Revisamos juntos las distintas posibilidades, pero hay una que le llamó la atención y quiere invertir en ella, en esta variante. Estas son las reglas: se trata de que usted elija cinco números diferentes entre los primeros cincuenta. Es decir, sin importar el orden, usted elige cinco números que van entre el 1 y el 50.

Sin embargo, eso no es todo. Por otro lado, usted tiene que seleccionar un número más, pero esta vez, tiene que elegirlo entre los que van del 1 al 36.

Por ejemplo, usted podría haber elegido: 1 , 7, 24, 38, 50 y además, el 7.

¿Por qué? Usted puede repetir el sexto número (en este caso, el número 7), ya que este sexto número se extrae aparte. En el momento del sorteo, primero se extraen cinco entre los primeros cincuenta. Después, en otro bolillero, están los primeros 36 números. De allí, el oficial de la lotería, extrae un número más.

La pregunta es entonces: ¿cuál es la probabilidad de que alguien gane? Usted puede abandonar(me) acá y nos re-encontramos más abajo.

Sigo.

Hay muchas formas de calcular el número de formas en las cuales uno puede extraer los primeros cinco números, pero supongo que la más clásica es razonar de la siguiente forma:

Para el primer número hay 50 posibilidades. Para el segundo, ahora ya quedan 49 números (ya que no puede repetirse el que salió primero). Observe entonces que hay (50 x 49) = 2.450 formas de elegir los primeros dos números, ya que para cada elección del primero, hay 49 formas de elegir el segundo, y como hay 50 formas de elegir el primero, en total hay (50 x 49) = 2.450.

Un poco más abajo en el texto vamos a reducir esta cantidad, ya que estoy contando dos veces cada par, pero téngame un poco de paciencia y después resolvemos esta desprolijidad.

Sigo. Para elegir el tercer número, ahora quedan 48 posibilidades (ya que elegí dos con anterioridad). Luego, hay (50x49x48) = 117.600.

Y continúo con los que faltan: 47 para el cuarto número y 46 para el quinto. En total entonces hay: (50x49x48x47x46) = 254.251.200 formas.

Esto estaría bien, siempre y cuando importara el orden en el que fueron elegidos, pero el orden no interesa. ¿Cuántas veces estamos contando cada quinteto?

Tomemos los primeros cinco números: 1,2,3,4,5. ¿De cuántas formas los puedo ordenar? (le pido que usted haga la cuenta para convencerse de que en realidad hay 120 formas de escribirlos):

12345        12354        12435        12453        12534        12543        13245        13254        13425        13452        13524        13542        14235

14253        14325        14352        14523        14532        15234        15243        15324        15342        15423        15432        21345        21354

21435        21453        21534        21543        23145        23154        23415        23451        23514        23541        24135        24153        24315

24351        24513        24531        25134        25143        25314        25341        25413        25431        31245        31254        31425        31452

31524        31542        32145        32154        32415        32451        32514        32541        34125        34152        34215        34251        34512

34521        35124        35142        35214        35241        35412        35421        41235        41253        41325        41352        41523        41532

42135        42153        42315        42351        42513        42531        43125        43152        43215        43251        43512        43521        45123

45132        45213        45231        45312        45321        51234        51243        51324        51342        51423        51432        52134        52143

52314        52341        52413        52431        53124        53142        53214        53241        53412        53421        54123        54132        54213

54231        54312        54321

Fíjese entonces, que cada vez que uno elige cinco números cualesquiera hay 120 formas de ordenarlos. Como el orden no importa, en el total que calculamos (254.251.200) cada combinación aparece repetida 120 veces. ¿Qué hay que hacer entonces?

Sí, lo que usted se imagina: hay que dividir 254.251.200/120 = 2.118.760.

Pero acá no termina. ¿Por qué? Porque todavía queda por elegir un número más, que habrá que seleccionar entre los primeros 36. ¿Moraleja? Por cada una de las 2.118.760 combinaciones, le puedo agregar un número cualquiera entre 1 y 36, por lo que el total ahora se obtiene multiplicando

2.118.760 x 36 = 76.275.360

Ahora sí; 76.275.360 es el número total de posibles elecciones de cinco números entre los primeros 50 y un número más entre los primeros 36.

Si usted quiere calcular la probabilidad de acertar, tendrá que dividir

1/76.275.360 = 0.000000013110393710367

Esto significa que uno tiene una posibilidad en más de 76 millones. Ahora bien, quiero comparar esta probabilidad con otra que nos sea un poco más accesible.

Suponga que vamos a tirar una moneda al aire y vamos a anotar lo que ‘sale’. La probabilidad de que salga ¡veintiseis veces seguida ‘cara’ (o ‘ceca’) es 0.00000001490116119384, es comparable con el número que resultó la probabilidad de ganar a esta variante de lotería. Eso sucede una cada 67,108,864 veces que tire la moneda.

Pregunta 1: ¿usted jugaría a este último juego, de tirar una moneda al aire y únicamente gana si sale 26 veces seguidas del mismo lado? ¿Pondría dinero para apostar a que eso va a suceder? Si su respuesta es sí, perfecto, siga ‘jugando’.

Pregunta 2: suponga que usted entre en una cancha de fútbol, alguna que le resulte familiar [1]. Pero no me refiero al estadio propiamente dicho, sino el césped en donde se juega. Ahora, imagine que yo fui, y sin que usted estuviera mirando, ubiqué una aguja como las que se usan para coser. Ahora, le tapo los ojos y le permito que vaya recorriendo el campo por los lugares que quiera. En un momento determinado, usted decide cuándo detenerse. Se agacha y estira un brazo, y siempre sin mirar, estira su pulgar y su índice como para agarrar ‘algo’ que está en el piso. Si justo encuentra la aguja, usted acaba de ganar a la lotería: felicitaciones.

Yo me entregué hace mucho tiempo y he decidido utilizar mi dinero para conseguir/me otros objetos. Eso sí, y antes que me lo diga usted: yo sé que “alguien tiene que ganar”, pero ese ‘alguien’ no voy a ser yo. Yo… paso.

 

 

[1] Las dimensiones (en promedio) son 100 metros de largo por 70 metros de ancho.

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