Millón de dólares
Este acertijo no nos hará ricos, pero sí más inteligentes
Uno de los diarios más prestigiosos de Europa es el inglés The Guardian. Como sucede con casi todos los grandes matutinos del mundo, The Guardian tiene un columnista que refleja lo que sucede en el mundo de la matemática, muy especialmente con lo que se llama “matemática recreativa”. En este caso me refiero a Alex Bellos.
Bellos nació en Oxford, sus padres son húngaros, tiene 49 años y lo curioso es que fue corresponsal especial del diario durante cinco años en Brasil, más precisamente en Río de Janeiro. Enamorado del fútbol, escribió un par de libros que tuvieron marcado éxito en el Reino Unido: el primero fue una biografía de Pelé (como co-autor) y el otro se “auto-explica” con el título: Futebol: The Brazilian Way of Life. (1)
Por supuesto, las menciones a su pasión por el fútbol en general y por Brasil en particular no son las razones por las que quiero mencionarlo aquí. Bellos escribe cada dos semanas un problema sobre matemática recreativa que es seguido por millones de lectores, trabaja además en la BBC y da charlas y conferencias recorriendo toda Europa. Y aquí es donde me quiero detener y contar una de sus historias. En realidad, es una ‘versión libre’ de la que presentó en The Guardian hace un par de meses, pero en esencia contiene la misma idea. El crédito entonces, es todo para él.
Alex propuso este problema, que yo voy a llamar “La Bolsa con el millón de dólares, por Alex Bellos”.
Suponga que entramos juntos a un enorme salón de un hotel céntrico (sin importar a qué centro me refiero. Usted puede ajustarlo a su gusto).
Avanzamos hacia un gran ventanal y aparecen cinco cofres. Están bien adornados y lucen muy nuevos. Cada uno de ellos tiene un número, del uno al cinco, y ordenados de izquierda a derecha (aunque este es un detalle totalmente irrelevante).
Lo que no es irrelevante es que adentro de uno de ellos hay una bolsa que contiene un millón de dólares en efectivo. Yo lo acompaño, pero solo para introducirlo al ‘juego’. A partir de ahora, su objetivo es tratar de encontrar el dinero. Créame que no es imposible (ni mucho menos), pero para jugar a este ‘juego’ es necesario que se cumplan ciertas reglas que detallo acá abajo.
Usted es el único participante. El día que empiece la búsqueda, la bolsa con el dinero ya estará dentro de uno de los cinco cofres. Se trata entonces de cumplir estas reglas y puede que entonces, el dinero sea suyo.
Reglas
1) Usted solamente puede abrir un cofre por día. Si abre un cofre cualquiera y encuentra el dinero, se termina la búsqueda.
2) Si usted abriera un cofre y estuviera vacío, tiene que esperar hasta el próximo día para abrir otro cofre (o incluso el mismo), pero la regla indica que usted solamente puede abrir uno cada 24 horas.
3) Eso sí: al día siguiente, usted tiene libertad para elegir qué cofre abrir, incluso cualquiera de los que abrió antes, no importa. Es como si el juego comenzara nuevamente.
4) Esto es muy importante: el dinero no puede estar en el mismo cofre más de un día. La bolsa tiene que cambiar de cofre todos los días [1]. Sin embargo, no puede ir a un cofre cualquiera, sino que todos los días cambia de un cofre a otro que sea adyacente. Por adyacente entiendo que está o a la derecha o a la izquierda del cofre que lo tenía el día anterior. Por ejemplo, si un día está en el cofre 3, al día siguiente tiene que estar o en el 4 o en el 2. Para dejar claras las ideas, si un día estuviera en el cofre número cinco, al día siguiente, la bolsa con el dinero deberá estar en el cofre que lleva el número cuatro inexorablemente. Lo importante es establecer que el dinero nunca está quieto y cambia de cofre todos los días.
Llegado a este punto, lo que usted tiene que hacer es diseñar una estrategia que permita ‘acorralar’ la bolsa y quedarse con el dinero.
Pregunta: ¿cuántos días necesita –como máximo- para asegurarse que va a encontrar la bolsa?
Ahora sí le toca a usted. Con todo, antes de retirarme, permítame hacerle la misma sugerencia que Alex Bellos les hizo a sus lectores: empiece con menos cofres, con tres por ejemplo, y fíjese si es capaz de elaborar un plan en ese caso.
Y a partir de acá, y ya por una deformación profesional, fíjese no sólo si puede resolver el caso en el que haya cinco cofres, sino intente ver si su estrategia se puede extrapolar a cualquier número de cofres (siempre manteniendo las mismas reglas) y cómo se modifica el número máximo de días para garantizar que usted va a encontrar el dinero. Mientras tanto, yo espero tranquilo acá abajo.
Una posible estrategia
Para empezar, y como escribí más arriba, le propongo reducir el número de cofres. En lugar de cinco, imagine que hay nada más que tres. Si prefiere, no siga leyendo porque voy a escribir acá una idea que terminará ‘divulgando’ una parte de la solución. Todavía está a tiempo para seguir por su lado. Y algo más: decididamente no es la única estrategia posible. Es solo una de ellas. Ahora sí, acá voy:
Supongamos que hay tres cofres, que voy a numerar 1, 2 y 3. Voy a intentar convencerla/o que con solo dos intentos yo voy a encontrar el dinero. Venga conmigo.
La bolsa puede estar en cualquiera de los tres cofres. Yo empiezo abriendo el cofre número 2. ¿Qué puede pasar? Posibilidades.
- Si lo encontré, listo: se terminó el problema.
- Si no lo encontré, es porque el dinero tiene que estar (forzosamente) en el cofre uno o en el cofre 3.
- El segundo día (y final), yo vuelvo a abrir el cofre 2. ¿Quiere pensar usted por qué SEGURO que encuentro el dinero?
Es que como el primer día no estaba en el cofre 2 (si no, yo ya lo hubiera encontrado), la bolsa no tiene otra alternativa que estar o en el 1 o el 3. Como el dinero está forzado a cambiar de cofre, y solamente puede estar en el 1 o el 3, y además, las reglas obligan a que vaya a uno adyacente, el segundo día tendrá que estar inexorablemente en el cofre 2. Como yo voy a abrir ese cofre, seguro que lo encuentro.. ¡y se terminó el problema!
Antes de avanzar, quiero hacer una ‘grilla’ o ‘cuadrícula’ en donde pueda testimoniar todo el proceso que fui relatando más arriba. Fíjese si está de acuerdo.
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero |
| Día 2 | Dinero (X) |
El primer día, el dinero puede estar en cualquiera de los tres cofres (y eso lo indiqué escribiendo la palabra ‘Dinero’ en los tres casilleros). Escribí una letra X para indicar en los días 1 y 2 que ese día abrí ese particular cofre. Fíjese que en el segundo día (o sea, en la segunda fila), la palabra dinero solamente aparece en el cofre 2. ¿Por qué? No puede estar ni en el cofre 1 ni en el cofre 3, porque para poder aparecer allí, es porque el día anterior tuvo que haber estado en el cofre 2, y como yo abría ese cofre el día 1 y no había nada, esto implica que el dinero no puede estar (en el día 2) ni en el cofre 1 ni en el 3... ¡Y es por eso que puedo garantizar que en dos días encuentro el dinero!
Ahora, aumentemos en uno el número de cofres. Supongamos que ahora hay cuatro cofres. Lo que voy a hacer entonces, es usar el mismo tipo de argumentos que utilicé recién, pero ahora hay un cofre más, y ver si puedo encontrar el dinero (acorralando a la bolsa) y ver cuántos días más necesito. Es decir, en alguna parte la pregunta que me/le estoy haciendo es la siguiente:
“Si hubiera cuatro cofres, ¿servirá la estrategia que usé recién cuando había uno menos?”
Veamos.
Supongamos entonces que hay ahora cuatro cofres. Hago la misma grilla que más arriba, solo que aparece un cofre más y me permito incluir un par de días más (días 3 y 4, que aún no sé si voy a utilizar, o peor aún, no sé si me van a alcanzar). Voy a escribir una ‘tabla’ de 4 x 4, y paso a explicarme por qué lo hago.
Cofre 1 Cofre 2 Cofre 3 Cofre 4
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero |
| Día 2 | ||||
| Día 3 | ||||
| Día 4 |
Como hice antes, cada columna se corresponde con cada uno de los cuatro cofres. A su vez, cada fila se corresponde con un día diferente. Arranco así.
El primer día, el dinero puede estar en cualquiera de los cuatro cofres. Es por eso que escribí la palabra ‘dinero’ en las cuatro columnas.
A su vez, yo empiezo abriendo el cofre número 2 (y por eso, puse una ‘cruz’). Si encontrara el dinero en ese momento, se termina el problema. Supongamos que no, que el dinero no está ahí. Tengo que pasar al día 2. Ahora bien, lo mismo que antes cuando había un cofre menos, en el día 2 el cofre 1 tiene que estar vacío. Y nada más (pero nada menos). Fíjese cómo queda la grilla ahora y le anticipo, que uso una vez más una letra X o una ‘cruz’ para indicar que voy a abrir el cofre 3. Queda así:
Cofre 1 Cofre 2 Cofre 3 Cofre 4
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 3 | ||||
| Día 4 |
Una vez más, si cuando abro el cofre 3 encuentro el dinero, listo, se termina el problema. Si lo encuentro vacío, paso al día 3 en donde voy a VOLVER a abrir el cofre 3 (y de ahí que use la ‘cruz’ o la letra ‘X’), pero me gustaría sugerirle que antes de ver cómo completé yo la grilla, se fije qué conclusiones sacaría usted para el tercer día, si cuando abrí el cofre 3 me encontré con que el dinero no estaba allí. ¿Entonces? ¿Qué debería suceder el día 3 con el dinero y los cofres?
Cofre 1 Cofre 2 Cofre 3 Cofre 4
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 3 | Dinero | Dinero (X) | ||
| Día 4 |
¿Por qué queda así? El tercer día, el dinero no puede estar en el cofre 2 porque si no, debió haber estado en el cofre 1 el día 2 (y no estaba), o debió haber estado en el cofre 3 el día 2, y tampoco estaba. Luego, el día 3, el dinero no puede estar en el segundo cofre. Pero claro, sí puede estar en el cofre 1, porque como se ve, pudo haber estado en el cofre 2 el segundo día. Por último, ¡no puede estar en el cofre 4 el tercer día! ¿Por qué? ¿Quiere pensar usted? Es que si el tercer día estuviera en el cofre 4, eso dice que el día anterior (el día 2) ¡tuvo que haber estado en el cofre 3! ... y nosotros sabemos que eso no es así porque yo abrí ese cofre y estaba vacío.
Con este análisis, queda concluido el análisis del día 3. Al llegar a este punto... ¿qué haría usted el cuarto día? Fíjese que el dinero... ¡solamente puede estar en el primer cofre el tercer día! Luego, ¡no le queda otro camino que ... aparecer en el cofre 2 el cuarto día! Y eso es lo que hago/hacemos: el último día (el cuarto), abro el cofre 2 e inexorablemente sé que... ¡¡¡¡me voy a encontrar con el millón de dólares!!!! Listo. Lo atrapé... lo forcé a que tuviera que estar en el segundo cofre (en el último día).
Cofre 1 Cofre 2 Cofre 3 Cofre 4
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 3 | Dinero | Dinero (X) | ||
| Día 4 | Dinero (X) (final) |
Ahora, llega el momento de intentar resolver el caso original, el de los cinco cofres y como antes, la pregunta es: ¿cuántos días necesita usted para poder encontrar el dinero? Para tres cofres, fueron suficientes dos días. Para cuatro cofres, fueron necesarios cuatro días. ¿Y para cinco cofres? Acá empiezo a elaborar la estrategia.. junto con usted. Acompáñeme por acá.
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | Cofre 4 | Cofre 5 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero |
| Día 2 | |||||
| Día 3 | |||||
| Día 4 | |||||
| Día 5 | |||||
| Día 6 |
Tal como hice antes en el caso de cuatro cofres, comienzo abriendo el Cofre 2. Por eso es que escribí la letra X (porque supongo que lo abrí y no encontré el dinero. Si no, el problema se termina ahí). Eso sí, como esto sucede recién el primer día, está claro que la bolsa con el millón de dólares está (o puede estar) en cualquiera de los cinco cofres, y es por eso que llené la grilla poniendo la palabra ‘dinero’ en todos los cofres.
Creo que ahora puedo avanzar un poco más rápido. Como antes en el segundo día voy a abrir el cofre 3. ¿Cómo completaría la grilla usted para el segundo día? ¿Qué datos del primer día me/nos van a permitir dejar algunos cofres vacíos? Sigamos....
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | Cofre 4 | Cofre 5 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | |
| Día 3 | |||||
| Día 4 | |||||
| Día 5 | |||||
| Día 6 |
En el segundo día, lo que queda claro es que el cofre 1 tiene que estar vacío (y ya sabemos por qué mirando lo que sucedió en los casos anteriores). Ahora, siguiente paso. Voy a abrir el cofre 4. Le propongo que usted (sí, usted), complete la grilla el día 3. Mientras tanto, yo sigo. La voy a ir llenando día por día. Voy a dejar ‘en blanco’ (en cada día), los cofres que tienen que estar vacíos.
Acá empiezo con el Día 3. Por ejemplo, el Cofre 2 tiene que estar vacío, porque para que el dinero pudiera estar allí, eso significaría que la bolsa tuvo que haber estado (en el día 2) en el cofre 1 o 3, y como se ve más arriba, eso no sucedió.
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | Cofre 4 | Cofre 5 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | |
| Día 3 | Dinero | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 4 | |||||
| Día 5 | |||||
| Día 6 |
Una observación más. Quiero anticiparle cuál va a ser mi estrategia para todo lo que sigue (suponiendo que no lo encuentro en el proceso). Estos son los números de cofres que voy abriendo día por día:
2, 3, 4, 4, 3, 2.
Si usted mira esta ‘tira’ de seis números, cada número indica el número de cofre y el lugar en la ‘tira’ indica a qué día corresponde. En total, la estrategia concluye en seis días.
Vamos al día 4.
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | Cofre 4 | Cofre 5 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | |
| Día 3 | Dinero | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 4 | Dinero | Dinero (X) | |||
| Día 5 | |||||
| Día 6 |
Como antes, los espacios vacíos significan cofres vacíos. Día 5:
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | Cofre 4 | Cofre 5 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | |
| Día 3 | Dinero | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 4 | Dinero | Dinero (X) | |||
| Día 5 | Dinero | Dinero (X) | |||
| Día 6 |
Y este es el final. En el día 6, voy a abrir el Cofre 2. Fíjese que el dinero tiene que estar allí, porque después del día 5, si no lo encontré en el cofre 3, quiere decir que todos los cofres (2, 3, 4 y 5) están vacíos. El único que tiene el dinero es el cofre 1. Cuando llego al día 6, forzosamente, encuentro el dinero en el Cofre 2, y allí termina la estrategia.
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | Cofre 4 | Cofre 5 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | |
| Día 3 | Dinero | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 4 | Dinero | Dinero (X) | |||
| Día 5 | Dinero | Dinero (X) | |||
| Día 6 | Dinero (X)(final) |
Por supuesto, esto termina de resolver el problema en el caso que hubiera únicamente cinco cofres. Como usted habrá visto, la estrategia consiste en empezar con los cofres de esta forma: 2, 3, 4, 4, 3, 2 (y encuentro el dinero).
El número de días necesarios (como máximo) para encontrar el dinero es seis. Naturalmente, no se le escapa que ahora llega lo mejor: ¿qué pasa si tengo seis cofres? ¿siete cofres? ¿n cofres? ¿cuál es la estrategia y cuál es el máximo número de días que necesito para encontrar el dinero?
Respuesta(s)
Creo que no se le escapa que yo podría seguir haciendo este mismo tipo de argumentos una y otra vez, pero creo que mejor sería que lo intente usted. Lo que voy a hacer es escribir la grilla final en el caso de siete cofres y más abajo, la fórmula general cuando uno tiene n cofres y se tropieza con las mismas reglas. Acá voy.
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | Cofre 4 | Cofre 5 | Cofre 6 | Cofre 7 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero | Dinero | |
| Día 3 | Dinero | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | Dinero | |
| Día 4 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero | |||
| Día 5 | Dinero | Dinero | Dinero | Dinero (X) | Dinero | ||
| Día 6 | Dinero | Dinero | Dinero (X) | ||||
| Día 7 | Dinero | Dinero | Dinero (X) | ||||
| Día 8 | Dinero | Dinero (X) | |||||
| Día 9 | Dinero | Dinero (X) | |||||
| Día 10 | Dinero (X)(final) |
Varias observaciones:
a) La estrategia consiste entonces en empezar en el cofre 2, y después seguir hasta llegar al penúltimo (en este caso, el cofre 6), pero si hubiera n cofres, seguiría hasta el cofre (n-1). Allí, repetiría ese cofre (el 6 o (n-1)), y después, empiezo en orden descendente, hasta llegar el cofre 2. En el momento que llego a él, ¡tengo que encontrarme con el dinero!
b) Si usted mira el número de días que fui necesitando de acuerdo con el número de cofres, verá que:
3 cofres 2 días
4 cofres 4 días
5 cofres 6 días
7 cofres 10 días.... ¿Le sugiere algo este recorrido?
Me permito entonces sugerirle una fórmula general, para que deduzca usted:
[(n-2)*2] días
en donde ‘n’ indica el número de cofres.
c) La estrategia entonces es la que se ve en la siguiente ‘tira’, en donde aparece el número de cofre que voy abriendo a medida que van pasando los días:
2, 3, 4, 5, 6, ..., (n-1), (n-1), (n-2), (n-3), .... 4, 3 y 2.
d) Me interesa ahora sugerirle que ‘miremos’ un poco la ‘estrategia’ tratando de entender cómo funciona. Supongamos que usted es quien elige el lugar en donde irá el dinero. Si usted mira lo que yo escribí más arriba, es decir, si usted supiera de antemano qué estrategia voy a usar, lo que le conviene a usted para prolongar el momento en el que yo encuentre la bolsa con el dinero, es ponerla de entrada en el cofre 1. Yo voy a elegir el 2 y a partir de allí, empiezo un ‘periplo’ hacia el cofre 6. A usted entonces, lo que le conviene es fluctuar entre los cofres 1 y 2. Al final, yo lo voy a ‘atrapar’, pero eso sucederá recién el día 10 cuando encuentre el dinero en el cofre 2. Mientras tanto, como usted irá de 1 a 2, de vuelta a 1, al 2.. y así siguiendo durante los diez días.
e) Por último, si usted se fija, como yo abro primero el cofre 2 y después (si no encuentro el dinero), empiezo a ‘moverme’ hacia la derecha, si usted eligió algún cofre mayor que 2 (el 3, 4, 5, 6 o 7), yo lo voy a ir empujando hacia el cofre 7... Cuando usted no pueda más, como no me puede ‘saltear’ o ‘saltar’, inexorablemente tendrá que ‘caer’ en mi red. Es decir, mi estrategia se basa en dos fases importantes: la primera, es que si usted eligió cualquier cofre con número mayor que 2, yo lo empujo hacia el borde. Y en algún momento, usted ‘chocará’ contra el cofre 7 (al que yo nunca voy a llegar), pero lo voy a encontrar inexorablemente. La segunda fase, es que –como escribí antes— usted no me puede ‘pasar por arriba’, y por lo tanto, también lo voy a encontrar en el cofre 2. Estos dos factores son determinantes para garantizar que el dinero tendrá que ‘ceder’.
Para finalizar, le sugiero que elija alguna persona para ‘jugar’. Dígale que elija en qué cofre pondría el dinero y ‘apuéstele’ que usted lo va a encontrar. Más aún: puede apostar cuál es el número máximo de movidas que usted necesitará para atrapar el dinero. Las caras de sorpresa que conseguí yo.. son impagables. Mucha suerte.
[1] Esto explica por qué usted podría querer abrir el mismo cofre que abrió antes.
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