Lorena y una estrategia ‘imposible’
Para ningún problema hay una solución única
El otro día me tropecé con un problema que me pareció interesantísimo y también ‘muy difícil’. Por supuesto, el grado de dificultad tiene mucho que ver con el entrenamiento y exposición que uno tenga frente a ese tipo de situaciones.
Me encantaría poder estar junto a usted para que lo pensáramos en equipo. A mí me llevó muchísimo tiempo y tuve que dejarlo varias veces hasta que se me ocurrió qué es lo que se podría hacer. Más aún: no solo quiero proponer el problema propiamente dicho, sino que cuando lea la solución, le sugeriría que piense por qué la solución funciona, lo cual no es necesariamente trivial.
En definitiva, el que sigue es un problema doble. Por un lado está el planteo. Después aparece una estrategia que ‘pretende resolverlo’ y, por último, le quedará a usted la tarea de descubrir por qué lo que yo digo que funciona como solución, es verdaderamente cierto.
Acá voy.
Suponga que hay cinco postulantes que quieren entrar a trabajar en una empresa. La persona que los va a evaluar, a quien voy a llamar señor E, les advierte que les va a proponer un problema que quizás los tenga ocupados durante mucho tiempo, y consiste en lo siguiente:
Cada uno tendrá una oficina asignada específicamente a la que solamente tendrá acceso el candidato.
En otro lugar del mismo piso habrá una sala ‘roja’ que en principio estará vacía, salvo que adentro hay una silla y un interruptor de luz que activa una única lámpara que cuelga desde el techo. En el momento de empezar el experimento la luz estará apagada.
El señor E los va a invitar a pasar a esa sala de a uno por vez y permanecerán allí aislados, sin ver a nadie ni que nadie los vea durante cinco minutos. De hecho, todo el tiempo que dure el experimento estarán virtualmente incomunicados entre ellos y con el mundo exterior salvo con el señor E, a quien verán solamente cuando los invite para ir a la sala o cuando los busque para llevarlos a su respectiva oficina. Pero ya no podrán hablar con él.
Si un candidato es invitado a la sala roja, estará allí exactamente cinco minutos. Durante ese tiempo, podrá encender la lamparita si está apagada o apagarla si está encendida o no hacer nada.
Pasados los cinco minutos, el señor E abrirá la puerta y la (o lo) acompañará de vuelta a la oficina que tenía asignada.
No hay restricciones respecto al número de veces que cada uno de ellos será invitado a la sala y la elección será al azar. Más aún: cada candidata/o puede ser invitado a la sala múltiples veces.
Ahora, el problema: si en algún momento de este proceso, alguno de ellos puede asegurar que los cinco ya estuvieron dentro de la sala roja al menos una vez, podrá llamar al señor E y comunicarle lo que dedujo.
Si la estrategia que diseñaron funcionó y pueden explicar por qué están seguros que los cinco estuvieron en la sala por lo menos una vez, los cinco quedarán contratados. Si no, serán eliminados de la lista de candidatos.
Ese es el planteo. Los postulantes tienen media hora para diseñar una estrategia. Una vez que sean distribuidos en sus respectivas oficinas, ya no tendrán más oportunidades de comunicarse entre ellos.
El problema, aunque no lo parezca, tiene solución. Le sugiero que trate de diseñar una estrategia usted. Cualquier cosa que yo haya escrito más abajo será totalmente irrelevante. No le sirve para nada. Lo único que podría tener algún valor es que usted busque —y encuentre— alguna variante.
Una potencial estrategia
No sé si es la mejor, y estoy convencido de que no es la única, pero acá va.
Los cinco candidatos se ponen de acuerdo en designar a uno de los cinco como ‘la directora’ o ‘el director’. Supongamos que se llama Lorena. Lorena será la persona distinguida de los cinco pero también tendrá una misión diferente al resto. Esta es la estrategia.
1) Cuando cualquiera de los otros cuatro candidatos (cualquiera que no sea Lorena) entra en la sala roja, se fijará en la lamparita. Si está encendida, la deja como está; no importa si es la primera vez que entra o no. En cambio, si la bombita está apagada, solamente la encenderá si es la primera vez que entra en la sala roja y se encuentra con la bombita apagada. Es decir, si la encuentra apagada pero ya la encendió alguna otra vez, la dejará apagada.
2) Cuando Lorena entre en la sala roja, se fijará también en la bombita. Si está apagada, la dejará como está y no hará nada; solo esperará que pasen cinco minutos para que el señor E vaya en su busca. En cambio, si está encendida, la apagará y empezará a contar cuántas veces le tocó hacer lo que acabo de describir. Por ejemplo, la primera vez que Lorena encuentre la lámpara encendida, la apagará y anotará el número uno, porque esa será la primera vez que tenga que apagar la luz. Pasados cinco minutos desde su ingresó irán a buscarla y listo, pero ella ya tendrá ‘anotado’ el número uno. Cuando Lorena entre nuevamente, se fijará en la bombita. Si está apagada, no hará nada. En cambio, si está encendida la apagará y anotará el número dos (porque es la segunda vez que tuvo que apagar la bombita). Por supuesto, para que haya llegado a anotar algún número el señor E tuvo que haberla llevado a la sala. Si no, todo esta descripción no sucedería.
3) Cuando Lorena haya llegado al número cuatro, en ese momento podrá llamar al señor E y decirle que los cinco candidatos entraron al menos una vez en la sala roja.
¿Quiere pensar ahora por qué esta estrategia funciona?
Sigo yo (con algunas observaciones). Si usted re-lee las instrucciones, verá que la única persona que puede apagar la luz es Lorena. Los demás, o no hacen nada o solamente pueden encenderla pero nunca apagarla.
Ahora, sígame en este razonamiento. Cada vez que Lorena entre en la sala roja puede ser que encuentre la lamparita encendida o apagada.
1) Si Lorena la encuentra encendida, eso quiere decir que alguna de los otros cuatro candidatos tuvo que haber entrado por primera vez y le permite a ella agregar uno en su cuenta personal. Si no tenía ninguno anotado hasta allí, anotará ‘uno’ y significará que entró alguien por primera vez. Le pido que advierta que aunque hayan entrado varios por primera vez, solamente el primero de ellos es quien pudo encenderla. Los otros, al entrar, sea por primera vez o no, la encontraron encendida y no debieron hacer nada. Es decir, cada candidato enciende la luz una sola vez, y eso sucede la primera vez que entra.
2) Analicemos ahora lo que sucede si al entrar Lorena en la sala ‘roja’ encuentra la luz apagada. Pudieron haber pasado dos cosas:
- a) Ella es la primera en entrar en la sala roja desde que empezó el experimento y por lo tanto nadie tuvo oportunidad de encender la luz. (Recuerde que, al empezar el test, la luz estaba apagada.)
- b) O bien, desde que ella entró la última vez hasta ese momento, en la sala roja no hubo ningún otro candidato que ella ya no tuviera registrado. Por lo tanto, no tiene nada para agregar y sigue con la cuenta como la tenía hasta allí.
Como usted advierte, Lorena solamente puede agregar uno a su cuenta personal si desde que ella entró por última vez hasta ese momento solamente entró uno que ella no contó antes. Para haberlo contado antes, esa persona tuvo que haber encendido la luz y en ese caso, como nadie la puede apagar, ella la tiene que haber encontrado encendida.
¿Qué sucede cuando Lorena llegó a cuatro en su cuenta? ¿Por qué ella está en condiciones de decir que todos ya entraron al menos una vez?
Ocurre que, como cada postulante pudo (y debió) encender la luz una sola vez (la primera vez que entró), Lorena tuvo que haber ido registrando cada una de esas veces. Cuando llegó a cuatro, ella ya sabe que entraron todos (obviamente, ella entró también) y está en condiciones de llamar al señor E y contarle lo que pasó. Y listo.
Moraleja
Yo elegí cinco personas y cambié el diseño, pero el problema tal como me fue presentado involucraba a 100 presos en una cárcel, encerrados en celdas individuales, y a un carcelero (que haría el papel del señor “E”) que quiere ofrecerles una forma ‘creativa’ de dejarlos en libertad... siempre y cuando encuentran la estrategia que les permita decidir cuándo entraron ya los 100 en esa celda ‘privilegiada’. (Que sería la sala ‘roja’.)
Como usted advierte, esta estrategia funciona para cualquier número de personas, pero requiere de un hecho que yo no había advertido cuando lo leí por primera vez: es muy importante que la luz esté apagada en el momento de empezar el experimento. ¿Por qué? (¿Quiere pensar usted?)
Es que si la luz estuviera encendida y Lorena fuese la primera en ingresar en la sala roja, ella pondría su contador en uno pensando que alguno de sus compañeros estuvo en la sala antes que ella. Cuando llegue a cuatro, creerá (equivocadamente) que ya entraron todos, cuando todavía le faltaría uno.
Si usted llegó hasta acá y cree que se puede encontrar alguna forma de resolver el problema sin pedir que la luz esté apagada al empezar, habrá dado un paso más que no requiere de esa restricción. En cualquier caso, será mejor que la que yo expuse acá arriba.
Pero si le interesa encontrar o diseñar una estrategia que sirva sin tener que pedir que la luz esté apagada al empezar el experimento… le propongo que siga leyendo el texto que sigue.
Nota
Si uno no supiera que la luz está apagada en el momento de empezar el test, la solución requeriría de una ‘ligera’ modificación:
- a) Cada postulante (salvo Lorena) tendría que encender la luz si la ve apagada las primeras dos veces que entre en la sala. Después seguiría todo igual para ellos
- b) En lugar de decir que todos entraron en la habitación por lo menos una vez cuando su cuenta llegue a cuatro, Lorena debería hacerlo cuando llegue a ocho.
Con estos dos cambios, ya no importará si la luz estaba apagada o encendida en el momento de empezar el examen. Le dejo a usted la oportunidad de revisar por qué con este cambio la estrategia funciona ahora. [1]
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[1] Carlos D’Andrea me hizo una observación muy interesante: “Adrián, en el planteo del problema no se le pide a Lorena que elabore una estrategia ‘óptima’ sino que diseñe alguna que le permita estar segura que entraron todos en la habitación. De hecho, Lorena podría seguir contando cinco, seis, siete... y detenerse cuando ella quisiera a partir de haber superado los cuatro o cinco, y el juego ‘terminaría bien’ igual. Y lo mismo sucedería si no se supiera de entrada que la luz estaba apagada”. Carlos tiene razón. Yo tuve la tentación de cambiar el enunciado y ‘pedir’ que la estrategia fuera la más ‘económica’ posible, pero al final preferí dejar el problema como figura más arriba y agregar esta nota al pie que ofrece más posibilidades para abordarlo.
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