Las puertitas de Monty Hall

 

El siguiente problema es un verdadero desafío que involucró a diferentes generaciones desde que fuera planteado en Estados Unidos en el año 1963. Generó controversias e incluso peleas entre diferentes matemáticos que sostenían que la solución que muchos aceptaban como cierta era, en realidad, equivocada.

No crea que requiere argumentos sofisticados; para nada. Solo que es un problema cuya solución atenta contra la intuición. Lo que uno cree que tiene que ser cierto, no lo es. A lo largo de los años lo he presentado ante múltiples audiencias, con resultados similares. Y naturalmente, no todo el mundo se queda convencido, y varios que parecieran estarlo aceptan la solución pero solo como un acto de generosidad hacia quien lo comunica. Aspiro a que no le pase lo mismo a usted. En matemática el principio de autoridad no existe: algo está bien o no lo está, y no alcanza que una persona, sea quien sea, exhiba ningún título para confirmarlo. En todo caso, lo único que es aceptable es una demostración de que lo que dice es cierto.

Me apuro en decir —una vez más— que el problema es verdaderamente muy sencillo, y a la vez muy interesante. Acá va. Pase, póngase cómoda/o y prepárese para discutirle a su intuición.

En el año 1963 comenzó un programa en la televisión norteamericana, que se hizo muy famoso. Se llamaba Let’s Make a Deal, algo así como Hagamos Negocio o Lleguemos a un acuerdo. Se emitió por la cadena NBC durante cinco años y después, en la misma semana que terminó su contrato allí (diciembre de 1968), pasó a la ABC, cuya dueña es hoy el emporio Disney. ¿Por qué hablar de este programa? Téngame un poco de paciencia y verá.

En sí mismo era un programa de preguntas y respuestas de los tantos que abundan y poblaron la televisión de todos los países del mundo. La diferencia residía en que quien llegara a la final, tendría que superar un último inconveniente, muy menor por cierto, pero requería de una cuota de suerte. El conductor, cuyo nombre artístico era Monty Hall (y de allí el nombre de este artículo), invitaba a pasar al finalista para que compitiera por el premio mayor: un auto cero kilómetro de alta gama. Para fijar las ideas, piense en una Ferrari o un Porsche.

En el estrado había tres puertas cerradas. Desde el lugar en donde estaban parados el conductor y el/la participante, no había manera de distinguirlas: eran tres puertas iguales. Sin embargo, lo que había detrás de las puertas sí que era significativo. El auto estaba detrás de una de ellas. En cambio, detrás de las otras dos había un chivo.

Monty Hall (que sí sabía cuál de las tres puertas era la que conducía al auto), le ofrecía al finalista la oportunidad de seleccionar una de las tres. Cualquiera. Si elegía la correcta, se quedaba con el auto. Si no, perdía… ¡y muchas gracias por haber participado!

Hasta acá, no habría nada original. Sería un programa convencional de preguntas y acertijos de los múltiples que pululan en la televisión. Pero el problema tenía un “agregado”. Una vez que el/la candidato “elegía” una de las tres puertas, antes de abrirla y verificar si había tenido suerte (o no), Monty Hall le ofrecía al participante una nueva alternativa.

Está claro que quedaban dos puertas sin seleccionar, y al menos uno de los chivos tenía que estar detrás de una de ellas. Como Monty Hall sabía detrás de cuál de las puertas estaba el auto, abría una de las dos que quedaban donde —SEGURO— no estaba el auto. Ahora quedaban dos puertas cerradas: la que había elegido originalmente el finalista, y ‘la otra’. Allí el conductor le formulaba otra pregunta:

“¿Quiere quedarse con la puerta que eligió al principio o prefiere cambiar?”

Usted, ¿qué cree que conviene hacer? O en todo caso, ¿qué haría usted si estuviera en el lugar del finalista? ¿Preferiría quedarse con la puerta que había elegido originalmente o cambiaría a la otra? ¿Le parece que tiene las mismas posibilidades de ganar el auto con cualquiera de las dos alternativas (cambiar o quedarse)?

Quizás le parezca que la probabilidad no cambia: hay dos puertas. Detrás de una de ellas está el auto. ¿Qué diferencia podría haber cambiando de puerta o quedándose con la que selección al principio?

Justamente es ahora que yo le propondría que interrumpa la lectura de estas líneas, y piense usted por su cuenta, sin dejar que yo (o cualquier otra persona) incida sobre lo que usted cree que habría que hacer. Yo voy a seguir más abajo.

 

Preguntas

Aquí estoy nuevamente. ¿Qué pensó? ¿Le parece que da lo mismo si cambia o se planta en la puerta que había elegido originalmente?

El problema presenta algunas aristas anti-intuitivas. ¿Por qué? Es que la tentación (que tuvimos todos) es contestar lo siguiente (como escribí más arriba):

“¿Qué importancia tiene que cambie o no cambie una vez que quedan dos puertas solamente?”

Uno sabe que detrás de una de las dos está el auto y, en todo caso, la probabilidad de que esté detrás de una o de otra es ½ . Es decir, hay 50 por ciento de posibilidades tanto en un caso como en el otro.

Pero… ¿es verdad esto?

Digo porque en realidad, más allá de la solución (que escribí más abajo), pensemos juntos lo siguiente:

“¿Se puede ignorar que el problema no empezó con la segunda pregunta sino que en principio había tres puertas y la probabilidad de acertar era 1 en 3?”

Es decir, el problema no empezó acá. No empezó cuando había dos puertas, sino que había empezado cuando había TRES puertas sin abrir y usted tenía que elegir una.

¿Debería afectar su decisión? ¿Cambia algo?

 

 

Solución

En principio, cuando el participante hace su primera elección, tiene una chance de acertar en tres. O sea, la probabilidad de que se quede con el auto es 1/3. Aunque parezca redundante, este hecho es importante: el finalista tiene una chance para acertar entre tres, y dos de errar.

Por un instante, permítame preguntarle algo. Si al empezar el juego, Monty Hall le ofreciera elegir una puerta, o dos puertas, es obvio que usted preferiría elegir dos que una sola.

La respuesta es obvia, porque la probabilidad de que el auto esté detrás de una de las dos puertas es 2/3 , mientras que la probabilidad que esté detrás de una de las puertas, es 1/3.

Puesto de otra forma, si usted y yo llegáramos a la final, y me dejaran elegir dos de las tres puertas y a usted la otra, usted estaría en una clara desventaja. En este caso, como decía antes, yo tendría el doble de la probabilidad de ganar el auto que usted.

¿Por qué hice el planteo de que usted tiene una puerta y yo dos? Porque cuando Monty Hall abre una de las dos puertas, él sabe que detrás de la puerta que abre no está el auto. Pero eso no cambia el problema original: usted había elegido una puerta y yo me quedaba con las dos restantes. El hecho que él abra una de las puertas que tenía asignadas yo, no cambia nada. Estaba claro que una de mis dos puertas (por lo menos) tenía un chivo del otro lado.

Luego de estas reflexiones, vuelvo al problema original:

“Usted preferiría cambiar o quedarse con lo que eligió?”

Y aquí es donde usted tiene que decir: ¡No! ¡No me quiero quedar con lo que elegí! ¡Quiero cambiar!

Es que es como si él le hubiera preguntado: “Usted, prefiere ser ‘Adrián’ (y perdón por hablar de mí en tercera persona, pero en este caso no se me ocurre ninguna otra forma) o prefiere seguir siendo ‘usted’?

Y usted, antes de empezar a jugar, hubiera preferido ser yo porque tenía dos posibilidades mientras que usted tenía una. Si en el medio del juego, Monty Hall abre una de las dos puertas, el juego no cambia. No hay nadie detrás de las puertas cambiando el lugar en donde está el auto. Luego, a usted… ¡le conviene cambiar!

 

 

Otra forma de pensar el problema

Pongámosle un número a cada una de las tres puertas: 1, 2 y 3.

Como el auto puede estar detrás de cualquiera de las tres, supongamos que está detrás de la puerta que lleva el número 3.

Cuando el conductor le pregunta cuál de las tres puertas elige, usted tiene tres posibilidades. Analicemos casos por caso qué sucede con las tres potenciales elecciones y cómo se modifica la probabilidad si usted se planta o cambia cada vez que Monty Hall abre una de las dos puertas.

Primer caso

Si usted elige la puerta 1, Monty Hall tiene que abrir la puerta número 2.

No puede abrir la 3 porque él sabe que detrás de esa puerta está el auto.

Entonces, el conductor le pregunta: ¿quiere cambiar o quedarse con la que eligió antes?

Si usted cambia (como había elegido la 1, ahora pasa a la 3), entonces GANA (el auto).

Si no cambia, PIERDE, porque el auto está detrás de la puerta 3.

Segundo caso

Si usted elige la puerta 2, Monty Hall tiene que abrir la puerta 1.

No puede abrir la puerta 3, porque él sabe que detrás de esa puerta está el auto.

Una vez más, el conductor le pregunta: ¿quiere cambiar o quedarse con la puerta que eligió antes?

Si usted cambia (como había elegido la puerta 2, ahora pasa a la 3)… GANA (el auto). Entonces gana (el auto).

Si no cambia, PIERDE, porque el auto está detrás de la puerta 3.

Por último….

Tercer caso

Ahora usted elige la puerta 3 (justo donde está el auto). Monty Hall puede abrir cualquiera de las dos primeras puertas, porque el auto está detrás de la que eligió usted. Supongamos que abre la puerta 1, y le pregunta:

¿Prefiere cambiar o se queda con lo que eligió antes?

Si usted CAMBIA, tiene que elegir la puerta 1. En este caso… ¡PIERDE! (ya que el auto estaba detrás de la puerta 3, que era la que había elegido usted).

En cambio, si se QUEDA con la que había elegido originalmente, GANA.

¿Cuál es la moraleja?

De los tres casos posibles, si usted cambia GANA en dos de ellos y pierde en el restante. Por lo tanto, al cambiar, la probabilidad de ganar es 2/3, o lo que es lo mismo, ¡gana el auto en dos de las tres posibilidades!

¡Conviene CAMBIAR!

Lo que le propongo es que no me crea. Si no se convenció con los argumentos que le di, siga pensando el problema hasta entender. Una vez más, le aclaro que es un problema que ha tenido al mundo de los matemáticos con dudas durante muchos años.

Creo que el último ejemplo, donde uno ve lo que sucede en cada uno de los tres casos, es el más claro de todos, pero aún así, siéntase libre de dudar tantas veces como quiera y fabricarse usted diferente tipo de argumentos hasta encontrar el que más le sirve a usted.

En todo caso, el que sirvió para convencerme a mí, poco importa. Lo que importa es lo que pasa con usted.

Lo que sigue acá abajo es una MUESTRA GRAFICA de lo que escribí más arriba. Fíjese en las siguientes tres configuraciones.

	Puerta 1	Puerta 2	Puerta 3
Posición 1	Auto	Chivo	Chivo
Posición 2	Chivo	Auto	Chivo
Posición 3	Chivo	Chivo	Auto

Supongamos que tenemos la posición 1.

Posibilidad 1: Usted elige la puerta 1. Monty Hall abre la 2. Si usted cambia, PIERDE. Si usted se planta, GANA. Es obvio que si el conductor hubiera abierto la puerta 3 el resultado sería el mismo.

Posibilidad 2: Usted elige la puerta 2. El conductor abre la 3. Si usted cambia, GANA. Si usted se queda, PIERDE.

Posibilidad 3: Usted elige la puerta 3. El conductor abre la 2. Si usted cambia, GANA. Si usted se queda, PIERDE.

En resumen, usted GANA en dos de las veces si cambia y sólo GANA una vez si se queda. Es decir, GANA en el doble de las veces si cambia.

Esto que parece “anti-intuitivo” o que “atenta contra la intuición” fue lo que me convenció a mí.

Ultima reflexión. Seguro que hay muchas maneras de pensar este problema. Quiero ofrecer una última.

Como escribí más arriba, suponga que llegamos usted y yo a la final, pero ahora, en lugar de haber tres puertas, imagine que hay un millón de puertas. Como antes, el auto está detrás de una sola de ellas. Monty Hall le ofrece a usted que elija una entre el millón de puertas. Yo, mientras tanto, me quedo con las 999.999 restantes, las que usted no eligió.

Supongo que no hace falta que escriba (pero lo hago igual), que usted está claramente en desventaja: yo tengo 999.999 puertas a mi favor, y usted, ¡solamente una!

Ahora, una vez que usted eligió una de las puertas, Monty Hall “abre” 999.998 de las puertas que me habían ‘tocado’ a mí. El sabe que detrás de ninguna de ellas está el auto. Ahora, le da la chance de elegir de nuevo:

¿Qué haría usted? ¿se quedaría con la puerta que eligió al principio o elegiría cambiar?

Creo que ahora, con un millón de puertas, la solución se hace más evidente, ¿no es así? Una vez más: no me crea… piense usted.

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