La Conjetura de Goldbach

 

¿Cuántas veces se le ocurrió una idea, pero dudó si era cierta o no? ¿Cuánto tiempo la estuvo pensando? Hay algo maravilloso que resulta de poder “entretener” en la cabeza algún problema cuya solución es incierta. Uno le da vueltas y vueltas, lo ‘camina’ por alrededor, lo mira desde distintos ángulos. Duda. Empieza de nuevo. Se enoja con él. Lo abandona con el objetivo de reencontrarlo más tarde. Es una experiencia fascinante. Y muchas veces también es frustrante.

En la historia de la ciencia, de las distintas ciencias, hay una amplia variedad de situaciones como las que expuse en el párrafo anterior. En algunos casos, los problemas planteados pudieron ser resueltos en forma sencilla. En otros, las soluciones fueron mucho más difíciles y hay ejemplos de problemas que llevaron siglos hasta ser desentrañados.

Supongo que a esta altura usted imagina hacia dónde voy: quedan muchísimos ejemplos, no sólo sin solución, sino en los que uno no sabe siquiera si la tal solución existe. Es decir, situaciones en las que uno no sabe si la conjetura que uno tiene entre manos es cierta o falsa.

Hay gente que ha dedicado la vida a pensar que cierto problema tenía solución, pero no la pudo encontrar. Y otros muchos que pensaron que esa misma conjetura era falsa, pero tampoco pudieron encontrar un contraejemplo para exhibir.

En el caso de la medicina, es muy fácil de imaginar. Así como le sucedió en algún momento a Alexander Fleming con el descubrimiento de la penicilina o a Jonas Edward Salk o a Albert Sabin con las vacunas antipolio: la magnitud de los descubrimientos les trajo prestigio, fama y, eventualmente, dinero. En las ciencias duras, si bien los ejemplos abundan, salvo casos puntuales como el de Albert Einstein, el prestigio no es tan evidente para el ciudadano común, como usted o como yo. Son más difíciles de percibir.

De todas formas, llegué hasta acá pero aún no exhibí el ejemplo al cual me quiero referir: “La Conjetura de Goldbach”.

Estoy casi seguro de que usted nunca escuchó hablar de ella y por eso quiero dedicarle un artículo específico en un lugar impensado: El Cohete a la Luna.

El 7 de junio de 1742 (piensen que ya pasaron casi 278 años), Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación porque a él no se le ocurría:

“Todo número par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de dos números primos”.

 

 

 

Por las dudas, y para no quitarle la oportunidad de pensar el problema, escribo un breve párrafo con un ‘ayuda memoria’:

¿Qué es un número primo?

Es aquel número que solamente es divisible por sí mismo y por uno.

Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos. Pero 6 y 15 no lo son. El número 6 no es primo, porque es divisible por 2 y por 3. Por otro lado, el número 15 tampoco es primo, porque es divisible por 3 y por 5 (además de por 1 y por 15).

Una última observación: al número uno (1) no se considera un número primo.

Pero volviendo a Goldbach, veamos algunos ejemplos donde es muy fácil comprobar que la conjetura es cierta.

1) El número 4 se puede escribir como la suma de 2 más 2. O sea, 4 = 2 + 2. La conjetura se verifica porque 4 es un número par, y 2 es un número primo.

2) El número 6 se puede escribir como la suma de 3 más 3. O sea, 6 = 3 + 3. La conjetura se verifica también, porque 6 es un número par, y 3 es un número primo.

3) ¿Qué sucede con el siguiente número par? Me refiero al 8. En este caso, uno tiene la tentación de escribir al número 8 así: 8 = 4 + 4. Sin embargo, el número 4 no es un número primo (ya que es divisible por 2). Pero, el número 8 se puede escribir como: 8 = 3 + 5. Ahora sí, como tanto 3 como 5 son números primos, entonces, la conjetura sigue siendo válida en el caso del 8. Sigo.

4) El próximo par es el número 10. Creo que usted advierte lo que sucede: 10 = 5 + 5, y  la conjetura es válida también, porque 5 es primo.

5) 12 = 5 + 7, y todo sigue bien porque tanto el 5 como el 7 son números primos.

6) 14 = 7 + 7

7) 16 = 5 + 11

8) 18 = 7 + 11

9) 20 = 7 + 13

10) 22 = 11 + 11

11) 24 = 11 + 13 = 7 + 17 (en este caso, hay dos formas diferentes de escribir al número 24 como suma de dos números primos).

12) 26 = 13 + 13

13) 28 = 11 + 17 = 5 + 23 (otra vez hay dos formas de escribir al 28 como suma de dos primos).

14) 30 = 13 + 17

15) 32 = 3 + 29 = 13 + 19 (una vez más, aparece un número par —el 32— que se puede escribir como suma de dos números primos en forma diferente).

Le propongo que siga usted con la lista, hasta que se aburra. Por ejemplo, más adelante aparecen estos casos:

1) 864 = 431 + 433

2) 866 = 3 + 863

3) 868 = 5 + 863

4) 870 = 7 + 863…………

Y así podría seguir.

Con todo, usted advierte que el hecho de que la conjetura sea válida en los casos que escribí más arriba, no garantiza que esto siempre vaya a suceder. Es decir: ¿cómo sabemos que no habrá algún ejemplo ‘más adelante’ donde aparezca algún número par que no se pueda escribir como la suma de dos números primos? Evidentemente, los ejemplos que escribí hasta acá parecerían indicar que esto va a suceder siempre, pero eso no es un argumento válido. Uno no puede concluir que, porque algo sucedió hasta un determinado punto, entonces sucederá siempre.

Cuando Euler recibió la carta de Goldbach no le prestó demasiada atención. Intentó con los primeros casos y advirtió (como hicimos nosotros más arriba) que el resultado parecía ser cierto. Se propuso pensar en alguna forma de demostrar que eso debía suceder siempre, pero no tuvo éxito. Lo interesante es que Euler le escribió a Goldbach que le parecía un problema sencillo pero que él no tenía tiempo para dedicarle.

El caso es que, sencillo o no, pasaron casi dos siglos y medio y el problema no ha tenido solución. La conjetura que atormentó a Goldbach todavía no ha podido ser demostrada en su forma más general. En este tiempo, más de dos siglos y medio, hubo mucha gente que le dedicó una buena parte de su vida a resolverla, pero no ha tenido éxito. Y también hay muchísima otra gente que ha intentado probar que es falsa. ¿Qué querría decir "demostrar que es falsa"? Bueno, si alguien afirma que la conjetura no es cierta, tiene que proveer un ejemplo de un número par que no se pueda escribir como suma de dos números primos.

Hasta aquí, año 2020, tal ejemplo no fue encontrado, pero tampoco nadie encontró la demostración de que siempre es cierta y por lo tanto, queda aún con el nombre que lleva desde su comienzo: una conjetura.

La novela Uncle Petros & Goldbach’s Conjecture [1], del escritor de origen australiano y criado en Grecia, Apostolos Doxiadis –publicada en 1992 en griego y traducida a diversos idiomas en el año 2000– es la que promovió que las compañías editoras Faber y Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury Publishing de Estados Unidos ofrecieran un millón de dólares a quien pudiera resolverla. El premio se lo podía llevar cualquier persona que ofreciera una demostración durante los años 2000 y 2002. Nadie la encontró. Pero tampoco nadie encontró que fuera falsa.

Doxiadis es también reconocido como uno de los iniciadores de las novelas con “trama matemática” y, además, ha dirigido varias obras de teatro así como algunas películas.

Pero lo que importa en este caso es que la popularidad alcanzada por la novela devino en la oferta de los editores, que al día de hoy nadie pudo reclamar. ¿Será acaso el turno de alguno de los lectores de El Cohete a la Luna?

Así como desde 1742 hasta hoy nadie pudo resolver el problema, tampoco nadie pudo demostrar que fuera falso. En 1855 se sabía que los primeros 10.000 números la cumplían y en 1940 se llegó a los 100.000.

Hasta hoy (enero del 2020), se sabe que la conjetura es cierta para todos los números pares que sean menores que 4 x 10¹³, o sea menores que ¡un número 4 seguido de trece ceros!

De todas formas, por más que las computadoras sean cada vez más rápidas, nunca llegarán a probarlo para todos los números. Para ello, se necesita una prueba abstracta, un teorema o si usted prefiere, una teoría matemática que sea capaz de demostrar que Goldbach, profesor de matemática en San Petersburgo, tenía razón.

El desafío que presentó en su momento la empresa Faber fue un intento de conseguir la mayor publicidad posible para ese libro: El tío Petros y la Conjetura de Goldbach.

Igualmente, yo perdería las esperanzas: se calcula que en todo el mundo hay sólo 20 personas que podrían resolver esta conjetura. Me queda extremadamente claro que el que escribe estas líneas no es uno de esos 20, pero nadie dice que no pueda ser usted, lector de El Cohete a la Luna. ¿Cómo saberlo sin siquiera intentarlo?

Para terminar, quiero dejar planteada otra conjetura también sugerida por Goldbach, conocida con el nombre de “La Conjetura Impar de Goldbach”.

Esta segunda conjetura dice que todo número impar mayor que cinco se escribe como la suma de tres números primos. Al día de hoy también permanece como un problema abierto de la matemática, aunque se sabe que es cierta para números impares de hasta siete millones de dígitos.

Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión educada de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach es cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca la demostración.

Ahora, como siempre, le toca a usted.

 

 

 

[1] Uncle Petros & Goldbach’s Conjecture se traduce como El Tío Petros y la Conjetura de Goldbach.

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