La Banda de Moebius

 

No, la banda no tiene que ver con lo que usted está pensando. Se la llama banda o cinta pero desde que fue descubierta por Moebius hace más de 150 años, presenta un curioso desafío a la intuición.

Con todo, para aquellos que no la conocen (a la cinta de Moebius), será una forma más de ver cómo se puede hacer matemática sin que haya ni cuentas ni cálculos involucrados. Si usted sale convencido de esto, paga doble. Más allá de la broma, no es que los números y los cálculos no sean necesarios. Por supuesto que sí, pero no son imprescindibles para ligarlos con la matemática misma. Las ideas también están en otro lado.

La sal, la pimienta, el orégano y la paprika son muy útiles para cocinar, pero no son “la” comida.

Lo que viene ahora es uno de los platos principales. Obviamente, no es lo único, ni mucho menos. Pero es uno, entre tantas. Avancemos.

Necesito de su complicidad: ¿tiene tiempo de pensar un rato? Más aún: ¿tiene tiempo para jugar mentalmente un rato? Si realmente se quiere entretener, consígase un papel relativamente grande (puede incluso usar una hoja completa de algún diario, como para fabricarse un cinturón o una “vincha”, por ponerle algún nombre), un lápiz o marcador y una tijera.

En fin, me siento como si estuviera haciendo una sugerencia para contar con útiles para usar en un curso de actividades prácticas.

Con todo, no es imprescindible que tenga todo esto, porque abajo aparecen algunos dibujos que evitan las manualidades si es que uno afina su capacidad para pensar. En cualquier caso, allá voy.

Imagínese un cinturón entonces, pero sin hebilla. ¿Alguna vez se puso uno al revés? Seguro que la respuesta es sí. Bueno, pero usted coincidirá conmigo, que para que haya un revés es porque hay un derecho.

Es decir, aunque uno no presta atención (y bien que hace) cada vez que uno tiene un anillo o un cinturón o una vincha hay un lado que es considerado el lado de adentro y otro, el lado de afuera.

Ahora imagínese que vamos a construir uno de esos cinturones, pero de papel. Uno corta una tira de papel “larga” y luego, pega los extremos, como se ve en la figura 1. Es decir, uno dobla el papel, y hace coincidir los lados A y B.

 

 

 

 

De esa forma, tiene un cinturón (sea generoso conmigo, es sólo un ejemplo).

Ahora bien. Cuando uno fabrica ese cinturón, hay un lado que es el de afuera y otro que es el de adentro. Supongo que eso está claro y usted está de acuerdo conmigo.

Sigo. Ahora tome la cinta del extremo A y dóblela como se ve en la figura 2. No la rompa, sólo tuerza 180 grados uno de los extremos.

Una vez hecho esto, pegue los extremos tal como están, y como se ve en la figura 3. Es decir, uno los pega como cuando hacía el cinturón, pero uno de los extremos está dado vuelta.

Ahora uno ya no tiene un cinturón en el sentido clásico. Queda otra superficie. Distinta. Si uno la quiere enderezar, no puede, salvo que la rompa. Tratemos de descubrir en esta nueva superficie el adentro y el afuera. Inténtelo solo/a. Trate de descubrir cuál de los dos lados es el de adentro y cuál el de afuera.

Créame que la gracia de todo esto es que usted descubra algo por sus propios medios. Por supuesto que es válido que siga leyendo, pero ¿por qué privarse del placer de investigar en soledad?

Lo que sucede (ahora sigo yo), es que la nueva superficie no tiene dos lados como el cinturón. Ahora, ¡tiene uno solo!

Es un hecho hipernotable, pero esta nueva cinta es la que se conoce con el nombre de Cinta de Moebius o de Möbius.

Esta superficie fue descubierta por un matemático y astrónomo alemán, August Fernand Moebius, en 1858 (aunque también hay que darle crédito al checo Johan Benedict Listing, ya que varios dicen que fue él quien escribió primero sobre ella).

Moebius estudió con Gauss (uno de los más grandes matemáticos de la historia) e hizo aportes en una rama muy nueva de la matemática como era la topología. Junto con Riemann y Lobachevsky crearon una verdadera revolución en la geometría que se dio en conocer como no-euclideana.

Antes de avanzar, yo sé que usted se estará preguntando, ¿para qué sirve una cinta así? Parece un juego, pero téngame un poquito más de paciencia.

Tome la cinta una vez más. Tome un lápiz, o un marcador. Empiece a hacer un recorrido con el lápiz yendo en cualquiera de las dos direcciones, como si quisiera recorrerla toda, en forma longitudinal. Si uno sigue con cuidado y paciencia, descubre que sin haber tenido que levantar el lápiz, uno vuelve al mismo lugar.

Eso, en un cinturón (o en algo equivalente) es imposible. Es decir: es imposible haber recorrido la superficie de los dos lados. En cambio en la cinta de Moebius, sí se puede. Es más: usted pudo.

Más aún. Tome su dedo índice. Empiece en el borde de la cinta y empiece a recorrerla. Si uno hiciera lo mismo con un cinturón, digamos con la parte de arriba daría una vuelta completa y vuelve al mismo lugar. ¡Pero no pasa por la parte de abajo! Con la cinta de Möebius en cambio, sí. O mejor dicho, uno recorre todo el borde.

Contra lo que indicaría la intuición, la banda de Möbius tiene una sola cara o un solo lado, y también un solo borde. No hay ni adentro ni afuera, ni arriba ni abajo.

Para los matemáticos, pertenece a las llamadas superficies no-orientables.

Sigo un poco más. Tome una tijera. Haga un corte longitudinal por la mitad (ver figura 4). ¿Qué pasó? ¿Qué encontró? Si no tiene la tijera, hágalo mentalmente y cuénteme lo que descubre.

Lo que sucede es que en lugar de separarse en dos, queda una sola cinta pero ahora, ¡ya no es más una banda de Moebius! Ahora, quedó como un cinturón común y corriente, más largo que el original, con dos lados y dos bordes, ¡pero doblado dos veces! Y si la vuelve a cortar por la mitad, ahora sí uno obtiene dos cintas enrolladas una alrededor de la otra. Y si tiene ganas de hacer más pruebas, intente haciendo un corte longitudinal pero en lugar de hacerlo por la mitad, como recién, hágalo a un tercio de uno de los bordes de la banda de Moebius y fíjese qué pasa.

 

Algunas aplicaciones

En algunos aeropuertos ya hay bandas de Moebius para las cintas que transportan los equipajes o la carga. Esto implica el uso parejo y regular de los dos lados aunque ahora sabemos que en este tipo de superficies, no podemos hablar en plural sino en singular: ¡hay un solo lado! Pero ellos saben por propia experiencia que el aprovechamiento es doble, igual que el rendimiento y el desgaste, se reduce a la mitad. Es decir: este tipo de cintas tiene una vida que duplica las comunes.

Grandes empresas de transporte de carga y de correos las usan también. Y por las mismas razones.

Otra aplicación: si usted vio alguna vez un casete de audio, de los que se usan en los grabadores comunes pero que entran en una especie de loop o lazo, el tape está enrollado como una cinta de Moebius. En ellos, se puede grabar de los dos “lados”, y el aprovechamiento mayor de su capacidad es obvio.

Hay ciertas impresoras que funcionan a tinta o las viejas máquinas de escribir que tienen enrollada la cinta que va dentro del cartucho formando una banda de Moebius. De esta forma, igual que en los ejemplos anteriores la vida útil se duplica.

En la década del ’60, los Laboratorios Sandi usaron bandas de Moebius para diseñar algunos componentes electrónicos.

En el arte, un candidato natural a usar las bandas de Moebius debería ser M.C. Escher. Y aquí la intuición no falla. En muchas de sus litografías aparece la cinta de Moebius, en particular en una en donde aparecen hormiguitas circulando sobre una de estas bandas.

Aparece también en historias de ciencia ficción: las más conocidas, La pared de Oscuridad (The Wall of Darkness, de Arthur Clarke) y Un Subte llamado Moebius.

Por último, una curiosidad más: Elizabeth Zimmerman diseñó unas bufandas aprovechando las cintas de Moebius e hizo una fortuna con sus tejidos.

El interés en las bandas de Moebius no pasa sólo por sus aplicaciones, reales o potenciales. Pasa por la imaginación y el descubrimiento de algo que ahora parece sencillo y obvio. Hace un poquito más de un siglo y medio, no lo era. Y como escribí al principio, también es producto de hacer matemática.

 

 

 

 

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