Infinitas monedas

 

Desafiar la intuición. Ese tendría que ser el título de esta nota (y de muchas otras, claro). Todos tenemos ciertas ideas sobre las cosas. Opiniones. Juicios formados. Eso, en principio, tranquiliza, porque nos evita la ansiedad de enfrentar lo desconocido.

Por supuesto, uno querría extrapolar los conocimientos que tiene –muchos o pocos– y utilizarlos para todas las situaciones posibles. Eso es claramente imposible. Sin embargo, hay ciertos momentos en los que tenemos confianza en que lo que intuimos está bien. A veces, camina. Otras veces, no.

Le propongo pensar un ejemplo (ficticio, claro) que involucra conjuntos infinitos.

Un señor tenía dos hijos. Era una persona muy rica. Tan rica era que su capital era infinito. Como sabía que estaba por morirse, convocó a sus hijos y antes de retirarse de este mundo, les dijo: “Yo los quiero a los dos por igual. No tengo otros herederos más que ustedes. Les voy a dejar mi herencia en monedas de un peso (es decir, les dejaba infinitas monedas de un peso). Eso sí. Quiero que hagan ustedes una repartición justa de la herencia. Aspiro a que ninguno de los dos trate de sacar ventajas sobre el otro”. Y se murió.

Llamemos a los hijos A y B para fijar las ideas. Los dos, después de pasar por un lógico período de duelo, deciden sentarse a pensar en cómo repartir la herencia respetando el pedido del padre.

Luego de un rato, A dice tener una idea y se la propone a B.

“Hagamos una cosa”, dice A. “Numeremos las monedas. Pongámosles 1, 2, 3, 4, 5... etcétera. Una vez hecho esto, te propongo el siguiente procedimiento. Vos elegís primero dos monedas, cualesquiera. Después, me toca a mí”, sigue diciendo A.

“Yo entonces elijo una de las dos monedas que vos elegiste. Y te toca a vos otra vez. Vos (B), elegís otra vez dos monedas de la herencia. Y yo, elijo una de las dos que vos seleccionaste. Y así siguiendo. Vos vas eligiendo dos por vez, y yo me quedo con una de las dos que vos apartaste”.

B se queda pensando. Y es entonces cuando yo le propongo a usted que haga lo mismo (antes de mirar o de leer la respuesta). ¿Es justa la propuesta de A? ¿Es equitativa? ¿Reparte la herencia en cantidades iguales? ¿Respeta la voluntad del padre?

Como siempre, existe la tentación de ir más abajo en la página y leer la solución. Pero en ese caso, usted se priva de la posibilidad de desafiarse a usted mismo. Nadie lo mira. Nadie lo controla. Y de paso, uno desafía la intuición.

 

Solución

Este problema es interesante, porque no tiene una solución única. Es decir: no se puede afirmar que la propuesta es justa ni injusta. Depende. Veamos.

Caso 1: Supongamos que lo que propone A se lleva a cabo de la siguiente manera:

B elige las monedas 1 y 2.

A le saca entonces la moneda 2.

B elige las monedas 3 y 4.

A se queda con 4.

B elige las monedas 5 y 6.

A se queda con 6. Creo que se nota el patrón que están siguiendo. B va eligiendo dos monedas consecutivas, una impar y otra par, y A, luego, le saca la moneda par. ¿Es justo este proceso? Sí, uno puede decir que sí, porque B se va a quedar con todas las monedas impares y A con todas las pares. O sea, si ésta va a ser la forma en la que se va a producir la distribución de la herencia, la voluntad del padre se verá satisfecha y ninguno de los dos sacará ventaja alguna.

Caso 2: Supongamos que ahora el proceso se lleva a cabo de la siguiente forma:

B elige las monedas 1 y 2.

A elige la moneda 1.

B elige las monedas 3 y 4.

A elige la moneda 2 (que había elegido B en la primera vuelta).

B elige las monedas 5 y 6.

A elige la moneda 3.

B elige las monedas 7 y 8.

A elige la moneda 4.

Y así siguiendo. De esta forma, ¿le parece que la distribución es justa? No siga leyendo. Piense usted. Si este proceso continúa... y obviamente debería continuar, porque las monedas son infinitas, A se está quedando con todas las monedas, mientras que a B no le queda nada.

Es decir, esta repartición no es justa ni respeta la voluntad paterna.

Sin embargo, la propuesta original que A le había hecho a su hermano B, no está ni bien ni mal. Depende de la forma en la que sean elegidas las monedas, pero conceptualmente que B elija en su turno dos monedas, y que luego A le saque una de las dos, no está ni bien ni mal. Depende. Y eso desafía la intuición. Lo invito a que piense que si en lugar de tratarse de una herencia infinita fuera una herencia normal, como la que podría dejar cualquier persona al morir, la pongan o no la pongan en monedas, la distribución que propuso A está siempre bien.

Moraleja: para conjuntos infinitos no valen necesariamente las leyes con las que estamos acostumbrados a pensar con los conjuntos finitos.

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