¿Hagan sus apuestas?

 

Es curioso, pero por el simple hecho de ‘ser matemático’, cada vez que uno de nosotros habla de jugar en un casino nuestro interlocutor suele sospechar que ‘a nosotros’ nos debería ir ‘bien’. 

No sé cuánta falta hace que le diga que eso no es cierto. Más aún: supongamos que sí lo fuera. Como consecuencia, entonces, por un silogismo elemental resultaría que todos los matemáticos seríamos hiper-millonarios. De hecho, no solo lo seríamos nosotros sino que —como usted bien sabe, nosotros los matemáticos somos todos muy generosos— en cuanto hubiéramos satisfecho todas nuestras necesidades y las de nuestros hijos (actuales o futuros), hermanos, padres, familiares de todo tipo y después las de todos nuestros amigos, conocidos y conocidos de los amigos… haríamos ‘saltar las bancas’ de todos los casinos en el mundo y los haríamos millonarios a todos.

Más allá de la broma, creo que está claro que ser matemático no genera ningún tipo de ventaja respecto de quien no lo es si se trata de ‘apostar’ o de ‘jugar en el casino’. De hecho, si pudiera darle una sugerencia (la única seria en todo este texto) es decirle: ¡no juegue! ¡No apueste! ¡No hay manera de ganar! Por supuesto, puede que algunas personas ganen algunas veces  o incluso muchas veces, pero si usted sigue jugando, inexorablemente… ¡va a perder!

Volvamos al caso del casino, más precisamente a la ruleta por un instante, solo por poner un ejemplo. Me interesa enfatizar algo muy importante: ¡una ruleta no tiene memoria!¡No lleva la cuenta de lo que va saliendo! La ruleta no lleva estadísticas.

Si puede, relea la última frase. Cualquier estrategia que usted crea haber encontrado para ganar, seguro que requiere que esa afirmación no sea cierta y por lo tanto, invariablemente la estrategia será falsa.

Lo que sucedió en la jugada anterior no tiene ninguna incidencia en lo que vaya a pasar en la siguiente.

Piénselo conmigo de esta forma: suponga que usted entra en un casino, se aproxima a una de las mesas en donde están jugando a la ruleta. Usted camina despacio, con las manos en el bolsillo (si es que tiene bolsillos), mirando atentamente como si estuviera buscando ‘algo’ o ‘a alguien’.

Se acerca a ese lugar porque hay muchísimo bullicio, mucha gente alrededor que parece entre alborozada, contenta, excitada… ¿Qué estará pasando?

“Bueno”, le comenta una señora que tiene un vaso de cerveza en la mano. “Usted no lo va a poder creer”, continúa. “Las últimas diez ‘bolas’ salieron todos números del mismo color. Todas correspondieron a números ‘negros’”.

Usted duda si le conviene jugar en esa mesa. Después de diez números negros consecutivos, es habitual escuchar: “¡ya es hora de que salga un ‘colorado’!”

Sin embargo, esto es una falacia. ¿Por qué? Es que si estuviéramos parados al lado de la mesa a la que hice referencia, en donde salieron diez números ‘negros’ consecutivos, y yo le preguntara: ¿qué es lo que usted cree que va a pasar? ¿Saldrá negro o colorado?

La enorme tentación es decir: “¡Ahora le toca a un colorado!”. Pero ahora yo podría aplicar lo que resultaba una obviedad en el párrafo anterior: ‘La ruleta no tiene memoria’. La probabilidad de que salga cualquiera de los dos colores es la misma [1]. Si antes de la jugada que usted está por presenciar salieron diez o cien o mil ‘negros’ en forma consecutiva, ese dato es totalmente superfluo. Lo que importa es saber que para la jugada siguiente... ¡existen las mismas posibilidades de que salga cualquiera de los dos colores!

Le propongo que piense conmigo, ya que el mismo resultado es aplicable no solamente cuando uno está en un casino por jugar a la ruleta, sino que si está por participar en cualquier juego de azar (cartas o dados, por ejemplo).

Luego, por más bullicio que haya, por más gente excitada y contenta, por más gente que prediga que “ahora le toca a un colorado”, la lógica indica que eso no es cierto.

Sin embargo, llegado a este punto, ahora sí quiero hacerle notar una diferencia.

Si ahora llegáramos al casino y nos acercamos a una mesa en donde están jugando a la ruleta como hicimos recién, y yo le preguntara: ¿cuál es la probabilidad de que salgan once números de color negro consecutivos? ¿Qué diría usted que pasa ahora?

Fíjese que son dos situaciones diferentes. La primera sucedió cuando ya sabíamos que habían salido diez números ‘negros’ consecutivos y nos preguntábamos cuál sería la probabilidad de que salga otro más en la jugada siguiente. Lo que le estoy planteando ahora es distinto. Ahora llegamos a la mesa y yo le pregunto ANTES de jugar, cuál es la probabilidad de que salgan once negros consecutivos. Claramente, son situaciones diferentes.

En este caso sí, la probabilidad es distinta, mucho más baja que la que calculamos antes.

¿Cómo calcularla? (¿Quiere pensar usted por su cuenta antes de seguir leyendo?) Esta es una buena oportunidad para que me abandone (al menos por un rato).

Sigo. Para hacer las cuentas más sencillas, supongamos que no hay cero. Hay nada más que 36 números: 18 colorados y 18 negros.

Usted estará de acuerdo conmigo en que cada una de las jugadas es independiente. ¿Qué quiere decir independiente? Quiere decir que lo que suceda en un tiro no tiene incidencia en el tiro siguiente.

Por lo tanto, como la probabilidad de que salga negro es ½ , entonces, que salgan dos números negros consecutivos es ( ½ ) x ( ½ ) = ¼. ¿Por qué?

Esto se entiende bien si uno piensa que hay cuatro posibles resultados para las dos tiradas:

Negro-Negro

Negro-Colorado

Colorado-Negro

Colorado-Colorado

De estos cuatro resultados posibles, solamente uno es el que nos interesa: Negro-Negro.

Como hay solamente un caso favorable (Negro-Negro) y cuatro casos posibles, la probabilidad se calcula dividiendo “los casos favorables sobre los casos posibles”.

Moraleja: la probabilidad es ¼ .

Como las tiradas son independientes, entonces la probabilidad de que salgan dos ‘negros’ consecutivos se puede calcular también como escribí antes: uno multiplica la probabilidad de que en la primera tirada salga negro ( ½) por la probabilidad de que en la segunda tirada salga negro (otra vez ½).

Luego, re-encontramos lo que ya sabíamos: ( ½ ) x ( ½ ) = ¼.

Sigamos haciendo girar la ruleta. Si ahora esperamos para ver qué sucede en tres tiradas consecutivas, la probabilidad de que salgan tres números negros consecutivos se calcula —como hicimos recién— multiplicando ( ½ ) por sí mismo tres veces:

( ½) x ( ½) x ( ½ ) = ( ½ )³ = 1/8 = 0,125.

Si usted prefiere, en lugar de calcularla así, podemos estimar nuevamente cuántos casos posibles hay y encontrar que son ocho. Voy a llamar N si sale un número de color negro y C si sale un número de color colorado. Entonces las posibilidades son:

CCC – CCN – CNC – CNN – NCC – NCN – NNC – NNN

De estos ocho casos posibles, hay uno solo que nos es favorable: NNN.

Por lo tanto, la probabilidad de que salgan tres negros seguidos se calcula como ‘casos favorables’ (uno) sobre ‘casos posibles’ (ocho) y entonces reencontramos que la probabilidad es 1/8 .

Con esta idea, podemos inferir entonces cuál es la probabilidad de que salgan once números negros consecutivos. Es una probabilidad muy baja, que resulta de multiplicar ½ por sí mismo ¡11 veces! Este es el resultado:

( ½ )¹¹ = 0,000488281

Ahora bien. Si bien tanto usted como yo sabemos que es mejor no jugar, no apostar, supongamos que uno quiere ‘tentar suerte igualmente’, es decir, supongamos que usted quiere jugar sin escuchar la voz de la razón.

Llegamos juntos a Mar del Plata y usted está decidida/o a apostar. Supongamos que llevó cuatro mil pesos y que la jugada mínima es de mil pesos por vez. Usted quisiera llegar a obtener diez mil pesos y después irse.

Ahora, una pregunta:

¿Qué cree usted que le conviene hacer? ¿Jugar de a mil pesos por tirada? ¿O le parece que es mejor jugar los cuatro mil pesos de entrada?

Por supuesto, si en este último caso ganara cuatro mil pesos apostando a uno de los dos colores, le faltarían solamente dos mil para llegar a su objetivo. En ese caso, pone dos mil y trata de ver si llega.

Como usted advierte, tanto en este caso, como en el de jugar mil pesos por ‘tirada’ se multifurca por la cantidad de posibilidades que se van abriendo como un árbol. Lo que me interesa es demarcar dos formas de encarar el objetivo: una, en forma pausada, progresiva y otra, agresiva.

Al llegar acá, y para terminar, quiero fundamentar por qué creo que es conveniente jugar los cuatro mil pesos de una sola tirada. Lo voy a graficar con un ejemplo [2].

Suponga que usted va caminando por la calle, cerca de un parque o una plaza. Está poblada de canchas de fútbol, de basket, de tenis y vóley. También hay hamacas y toboganes, para que pueda haber entretenimientos para niños más pequeños.

De pronto, usted advierte que Manu Ginóbili está con unos amigos practicando tiros a uno de los aros. ¡No lo puede creer! Mientras usted se apresura a sacar el teléfono celular y se acerca con cuidado (para no molestar) y esperar pacientemente poder ‘sacarse una selfie con él o una foto’, sucede algo inesperado:

Manu se aleja del grupo y generosamente se ofrece a competir con usted en forma amistosa. Ginóbili le dice: “Elegí el número de tiros al aro que quieras. Por ejemplo, tiramos una vez, cinco veces, diez, cien... las que quieras. Gana el que emboca más (entre los dos). Si gana usted, la/lo invitamos a que venga a almorzar con nosotros. Ah, si empatamos, seguimos tirando una vez cada uno hasta que se defina un ganador. Si gana usted, vamos a almorzar igual y pago yo también”

Usted no puede salir de su asombro y lamenta profundamente que no haya nadie conocido para poder compartir este momento inigualable, una historia para siempre. Pero claro, Manu no va a esperarla/o ‘toda la vida’. Hay que tomar una decisión. Usted… ¿qué haría? ¿Cuántos tiros elegiría tirar?

La tentación inicial es decir “tiremos mil veces”, porque aunque pierda y no emboque ni un tiro, habrá compartido con Ginóbili una experiencia única, pero si hay que tirar mil veces, eso llevará mucho más tiempo.

Pero si su objetivo es ganar, quizás no sea más conveniente tirar tantos tiros. Usted, ¿qué piensa?

Fíjese que si usted eligiera tirar nada más que un tiro, existe la —remotísima— posibilidad de que usted convierta su tiro, y por una loca casualidad, justo Manu erra el suyo. En ese caso… ¡ganaría usted!

Es decir, para poder tener más chances de ganar, a usted le conviene tirar la menor cantidad de tiros posibles.

Se combinan dos hechos. Por un lado, como usted no está acostumbrada/o a tirar (creo) a un aro de basket, es poco probable que emboque. Pero en el caso de que justo usted logre su objetivo, tendría que suceder algo más: ¡él tendría que errar!

Usted se da cuenta que es mucho más probable que si tiran varias veces, usted termine errando muchos (o todos) y él convierta muchos, o todos los tiros que intente. Es por eso que en este caso está claro que conviene tirar poco, y si es posible, nada más que una vez.

Este argumento es el mismo que he usado yo para decirle que le conviene jugar los cuatro mil pesos en una sola tirada, y no intentar varias veces. En este caso, ¡el casino es Manu!

Pero igual, una vez más: salvo que decididamente esté muy aburrida/o, sin ganas de nada más que jugar en el casino, si puede evitarlo… ¡use el dinero en otra cosa!

 

 

 

 

[1] Encima existe la posibilidad de que salga ‘cero’, o ‘doble cero’ en algunos casinos y en esos casos la probabilidad disminuye aún más. Si no existiera ni cero ni doble cero, entonces la probabilidad sería ½ , o sea, las chances de que salga cualquiera de los dos colores es de un 50%. Pero, para ser más precisos, si la mesa tiene 37 números (los primeros 36 números y un cero), entonces, la probabilidad de que salga cualquiera de los dos colores es 18/37 = (aprox) 0,48648… Como usted ve, antes era 0,5 y ahora es un número aún menor. En el caso en el que la ruleta tenga un número cero y un doble cero, entonces ahora hay 38 números de los cuales 18 son colorados y 18 son negros. La probabilidad de que salga un número de cualquiera de los dos colores es 18/38 = 9/19 = (aproximadamente) 0,47368…, que es aún menor que si hubiera un solo cero.

[2] Este problema es una adaptación libre mía de un ejemplo similar pero con Michael Jordan y otro matemático, en este caso Haim Schapira. Haim no solo es matemático, nacido en Vilnius, Lituania, pero ahora ciudadano israelí, sino que además es filósofo, pianista profesional y especialista en Teoría de Juegos. Es un gran divulgador y comunicador. Recibió su educación en la universidad de Tel Aviv, de la que es profesor actualmente. Cualquier posibilidad que tenga de leer trabajos de él o artículos que hubiera publicado, no se prive de hacerlo. Son magníficos. El crédito es todo de él, aunque yo me quede con Manu y él con Michael.

 

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