El problema de los pins

 

Estoy en condiciones de afirmar que el problema que sigue usted lo debe haber sufrido, como casi todas las personas. Me cuesta trabajo imaginar que una persona que tenga acceso o bien a un teléfono celular, o a una tarjeta de crédito o débito, o que tenga una cuenta de correo electrónico o que tenga una tarjeta para retirar dinero de un cajero automático o que tenga una computadora o trabaje con ella... en fin, una persona que viva en alguna parte del mundo sin estar aislado de él, decía... estoy seguro que tiene que haber padecido alguna de las consecuencias del problema que voy a contar ahora. Fíjese por qué y si está de acuerdo conmigo.

Todos nosotros tenemos (múltiples) contraseñas. No voy a ampliar la lista de posibilidades porque creo que con las que escribí en el párrafo que figura más arriba, incluí a ‘casi’ todas las posibilidades de la vida cotidiana. Ahora bien, para hacer el problema más sencillo sin perder la esencia de lo que quiero contar, supongamos que usted tiene una contraseña que consiste de haber elegido cuatro dígitos, o sea, un número de cuatro cifras.

Los dígitos pueden ser cualesquiera, elegidos entre los diez posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Suponga que usted se olvidó la combinación que eligió. Lo único que se acuerda es que en alguna parte había un número cero. Lamentablemente no recuerda siquiera en qué lugar de los cuatro posibles estaba; solo recuerda que estaba en alguno de los cuatro lugares posibles.

Pregunta: si usted tuviera que probar con todas las alternativas... ¿cuál sería el máximo número de posibilidades que tendría que investigar? Es decir, si a usted no le quedara más ‘remedio’ que probar y probar, ¿cuál sería el número máximo que tendría que intentar? ¿Quiere pensar?. Mientras tanto, yo hice ‘mis deberes’ y le propongo más abajo un par de respuestas posibles, pero estoy seguro que tiene que haber más formas de pensarlo.

Ahora le toca a usted.

Respuesta 1

La manera más fácil –me parece— de resolver este problema es estimar cuántos PINs no contienen al número cero en ninguna posición. Una vez que hayamos hecho esto, puedo restar del total todos los que no contienen un cero, y por lo tanto, el resultado serán todos los PINS que sí contienen al menos un número cero entre los cuatro dígitos.

Empiezo entonces ‘por el principio’. Calculemos juntos cuántos PINs posibles (de cuatro dígitos) se pueden crear.

Como no hay restricciones, está claro que puedo repetir cada dígito tantas veces como quiera. Por ejemplo, aunque parezca ‘raro’, el PIN 0000 se aceptaría como uno de los posibles candidatos.

Por otro lado, como los dígitos involucrados son 10 (del 0 al 9) y se pueden repetir, en total, desde 0000 hasta 9999, hay 10.000 (diez mil) posibilidades (¿quiere pensar un instante para convencerse que son 10.000?)

Ahora, como le propuse más arriba, calculemos cuántos hay que no contienen el dígito cero. Una vez que haya encontrado cuántos hay, se los voy a restar al total posible de combinaciones, y las que resulten, serán todas las que sí contengan al menos un cero, que es lo que estoy buscando.

Sigamos. Si el PIN no puede contener un cero, esto significa que podemos usar solamente nueve dígitos y no diez para cualquiera de los cuatro lugares del PIN.

En total entonces hay:

9 x 9 x 9 x 9 = 9⁴ = 6.561

Solo falta restar estas 6.561 posibilidades (que son las que NO contienen un cero) del total (que eran 10.000). La cuenta entonces es:

10.000 – 6.561 = 3.439

Esa es la respuesta final y correcta.

Respuesta 2

El camino que voy a escribir acá abajo es más largo, pero conduce a la respuesta también. Por supuesto, antes de leer lo que sigue le propondría que piense usted porque, ¿qué gracia tiene seguir si usted no le dedicó ni siquiera ‘un ratito’ para saber qué es lo que se le ocurre? ¿Y si usted es capaz de pensar algo mejor, más rápido y/o más eficiente que lo que escribí yo más arriba, o lo que voy a escribir más abajo? ¿Cómo sabe usted que no es o no será así? En fin... sigo yo.

Esta va a ser la estrategia que voy a usar. Lo voy a hacer en diferentes etapas. La primera, será calcular cuántos PINs hay que tengan al número cero como primer dígito. La segunda etapa será calcular los PINs que tengan al número 0 como segundo dígito. El tercer paso, será calcular los PINs que tengan al número 0 como tercer dígito, y por último, voy a calcular cuánto PINs hay que tengan al cero como último dígito.

Después voy a sumar todo y, si hice las cuentas bien, yo sé que me tiene que dar 3.439.

Avancemos juntos.

El primer paso será calcular cuántos PINs empiezan con un número cero. Serán PINs de esta forma:

0 * * *

(Donde el ‘asterisco’ indica cualquier número entre 0 y 9.)

¿Cuántas posibilidades hay? Como el primer número está fijo y los siguientes tres pueden ser cualesquiera, entonces la respuesta es:

1.000 (porque 10 x 10 x 10 = 1000)

El segundo paso será calcular los PINs que tengan al cero como segundo dígito, pero teniendo cuidado en no repetir aquellos que tienen al número cero en el primer lugar. ¿Por qué? Es que esos ya los conté en el primer paso. ¿Me entiende? Deténgase si no me siguió. Si yo contara nada más los que tienen un cero en el segundo lugar sin excluir los que tienen un cero en el primer lugar también, entonces estaría contándolos dos veces, ya que los incluí en el primer paso.

Por lo tanto, serán PINs que se escribirán así:

# 0 * *

Donde # es un dígito cualquiera diferente de cero (o sea hay 9), mientras que el asterisco * indica cualquiera de los 10 dígitos.

En total entonces hay:

9 x 10 x 10 = 900.

Para el tercer paso serán PINs que tengan cuatro dígitos, pero el tercero ahora será un número cero. Como hice en el paso anterior, tengo que tener cuidado de excluir los PINs que tengan o bien un cero en el primer lugar o un cero en el segundo lugar.

O sea, serán PINs de esta forma:

# # 0 *

Donde # indica un dígito cualquiera entre 1 y 9, mientras que el asterisco *, indica un dígito cualquiera entre 0 y 9. En total hay:

9 x 9 x 10 = 810.

Por último, el cuarto paso será considerar los PINs que terminen en un número cero, y que no tengan un cero en ninguno de los tres primeros lugares. Se escribirán así entonces:

# # # 0

Donde # indica que es un dígito cualquiera diferente de cero. En total hay:

9 x 9 x 9 = 729.

Ahora, para terminar, lo que tenemos que hacer es sumar los cuatro números que obtuvimos en cada etapa. Es decir:

1000 + 900 + 810 + 729 =3.439.

En realidad ya sabíamos que habríamos de encontrar esa misma respuesta (si hacíamos bien las cuentas), solo que con la primera estrategia, encontrar el número máximo de PINs posibles a revisar fue mucho más sencillo y más rápido, mientras que la segunda forma, fue mucho más tortuosa, pero tan efectiva como la primera.

Me gustaría enfatizar que no hay una forma que esté bien y otra que esté mal. Las dos son muy buenas, porque son conducentes a la respuesta que buscábamos. Y por otro lado...

¿No tendrá ganas usted de pensar alguna otra forma de resolverlo? ¿O ya la pensó, antes que yo lo propusiera?

 

 

--------------------------------

Para suscribirte con $ 1000/mes al Cohete hace click aquí

Para suscribirte con $ 2500/mes al Cohete hace click aquí

Para suscribirte con $ 5000/mes al Cohete hace click aquí