El cumpleaños de Paula
Para pensar bien, sólo se requiere un poco de paciencia
Alex Bellos es un matemático inglés que está muy ligado con nosotros. De hecho, durante siete años vivió en Río de Janeiro. Allí fue corresponsal del diario The Guardian (el más importante y serio de Gran Bretaña) para toda Sudamérica. El vínculo se establece porque Alex es un apasionado por el fútbol y, además, tiene familia en la Argentina, más precisamente en la provincia de Tucumán. En particular, escribió una biografía sobre Pelé [1] y aprovechó para recorrer durante mucho tiempo la parte norte de Uruguay y el sur de Brasil.
Ahora volvió a Londres y desde allí sigue escribiendo para el diario y también trabaja en la BBC. Hace un tiempo (en junio del 2015), en su columna quincenal, reprodujo un problema que hizo furor en toda Asia. Es la segunda parte [2] de un problema que escribió Joe Boon Wooi, profesor del Instituto Nacional de Educación en Singapur. Es un problema de lógica extraordinario. No hace falta que usted posea ningún conocimiento previo... nada.
Sólo aspiro a que se tome un rato y se desafíe, pero el desafío más importante, para mí, no es en resolver el problema sino en tener la paciencia suficiente para pensarlo. Créame: ¡lo único que hace falta es tener paciencia! El resto es totalmente irrelevante. La situación es la siguiente.
Cuatro jóvenes están conversando sobre el triunfo de Del Potro frente a Federer. Tres de ellos son varones: Santiago, Lucio y Matías. Paula es la única mujer. Los tres están curiosos por saber la edad de Paula porque cada uno de ellos sostiene una posición diferente. Para dirimirla, le preguntan la fecha y ella, en lugar de darles el dato directamente, les entrega una lista con 20 fechas posibles.
| 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
| 17 Febrero | 16 Marzo | 13 Enero | 19 Enero |
| 13 Marzo | 15 Abril | 16 Febrero | 18 Febrero |
| 13 Abril | 14 Mayo | 14 Marzo | 19 Mayo |
| 15 Mayo | 12 Junio | 11 Abril | 14 Julio |
| 17 Junio | 16 Agosto | 16 Julio | 18 Agosto |
Después, a cada uno le da un dato por separado, sin que los otros dos la escuchen. A Santiago le dice el mes, a Lucio el día y a Matías, el año. De esa forma, cada uno de los varones tiene solo una porción de la información que buscan.
Los tres comienzan a revisar la lista con las fechas que tienen adelante y después de un rato, se escucha esta conversación que reproduzco en el orden en el que fueron hablando:
Santiago: Con el dato que me dio Paula (el mes), yo no sé qué día nació, pero estoy seguro que Lucio tampoco lo sabe.
Lucio: Santiago tiene razón. Yo no lo sé todavía, pero lo que sí sé es que Matías tampoco lo sabe.
Matías: Si, no sé el día en que nació Paula pero puedo agregar que Santiago no lo puede saber todavía.
Santiago: Ah, entonces ahora yo sí sé el día, mes y año que nació Paula.
Lucio: Entonces, ahora yo también puedo deducir todos los datos y puedo afirmar que día, mes y año nació Paula.
Matías: ¡Y yo también!
En definitiva: ¿cuál fue la fecha de nacimiento de Paula?.
Suena increíble, ¿no? Digo, teniendo en cuenta que en la lista hay 20 posibles fechas, parece casi imposible que uno pueda llegar a deducir cuál es el día correcto conociendo únicamente esa conversación. Sin embargo, lo extraordinario es que... ¡se puede!
Le propongo que mire con un poco de cuidado las fechas que aparecen en el papel. Obviamente, no hace falta que memorice nada, pero revise la cantidad de veces que aparece cada mes y también cada día porque después será importante para ir descartando las 19 que son incorrectas.
Empiezo con la primera frase de Santiago: “Yo no sé qué día nació Paula, pero estoy seguro que Lucio tampoco lo sabe”.
Dividámosla en dos partes.
De entrada, ¿sorprende que él no pueda deducir la fecha del cumpleaños? Creo que no. ¿Por qué? Porque todos los meses que aparecen entre las 20 fechas están repetidos. Usted pensara: “¿Y qué tiene que ver ese dato?”. Respuesta: “Mucho. Fíjese por qué. Permítame poner un ejemplo cualquiera: si entre las fechas posibles estuviera el 20 de diciembre, entonces, si Santiago hubiera escuchado el mes “diciembre” sabría que el cumpleaños de Paula fue ese día sin tener ningún dato más, porque no habría ninguna otra fecha que tuviera a diciembre”. Luego, como todos los meses que aparecen en la lista están repetidos entre las 20 fechas, no sorprende que Santiago diga que ‘no puede saber qué día nació Paula’. Eso configura la primera parte de la respuesta.
Sin embargo, la segunda afirmación de Santiago tiene otro tipo de peso. El dice que Lucio tampoco puede saberla. Fíjese que los meses y los años aparecen todos por lo menos dos veces, pero con los días sucede algo diferente. Me explico. Si usted revisa las 20 fechas, verá que hay únicamente dos números que aparecen una vez: el 11 y el 12. ¿Y entonces?
Suponga que Paula hubiera nacido el 11 de abril del 2003. En ese caso, le tuvo que haber dicho ‘abril’ a Santiago y “11” a Lucio. Santiago, no tendría manera de saber con ese dato solo, porque hay dos fechas que contienen al mes de abril: 11 de abril del 2003 y 15 de abril del 2002, pero si a Lucio le hubiera dicho el número 11, ¡seguro que Lucio sabría! ¿Por qué? Porque hay un solo número 11 y entonces al escuchar ‘11’, Lucio deduciría inmediatamente que Paula nació el 11 de abril del 2003.
Cuando Santiago dice que él no sabe pero que Lucio tampoco sabe, es porque él ¡no escuchó abril! De esa forma, él está seguro que Paula no le pudo haber dicho ‘11’ a Lucio. Y lo mismo con el mes de junio (revíselo usted y verá). ¿Qué conclusión podemos sacar juntos? Santiago no pudo haber escuchado ni abril ni junio y por lo tanto, podemos excluir de las 20 fechas todas las que aparecen con esos meses. Cuéntelas y verá que son cinco. Ahora, tachémoslas de la lista. La grilla ahora queda con estas 15 fechas:
| 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
| 17 Febrero | 16 Marzo | 13 Enero | 19 Enero |
| 13 Marzo | 16 Febrero | 18 Febrero | |
| 14 Mayo | 14 Marzo | 19 Mayo | |
| 15 Mayo | 14 Julio | ||
| 16 Agosto | 16 Julio | 18 Agosto |
Ahora pasemos a lo que dijo Lucio: “Yo todavía no sé la fecha del cumpleaños de Paula pero estoy seguro que Matías tampoco sabe”
Todo lo que tiene Lucio es un número... Fíjese que ahora, cuando quedan quince fechas posibles, si Paula le hubiera dicho ‘17’, entonces el sí podría decir cuál es el cumpleaños que buscan. Pero como dice que él no sabe, es porque ni escuchó ‘17’ ni tampoco escuchó ‘15’ (ya que queda nada más que un ‘15’). Eliminemos entonces 17 de Febrero del 2001 y 15 de mayo del mismo año. Quedan 13 fechas:
Estas dos últimas que tachamos fue porque Lucio dijo que él no podía saber todavía. Ahora, usemos la segunda parte de su frase: ‘Yo sé que Matías tampoco sabe’. Mire las fechas que quedan: ¡hay una sola del año 2001! Entonces como Lucio dijo que Matías no puede saber tampoco es porque él no escuchó el número 13 tampoco. Si él hubiera escuchado el 13, podría ser que Paula le hubiera dicho 2001 a Matías y entonces, Matías sabría la fecha (13 marzo del 2001). Luego, como Lucio dice que Matías no sabe, podemos eliminar las dos fechas que contienen al número 13: 13 marzo del 2001 y 13 de enero del 2003. Nos quedan once fechas posibles:
| 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
| 16 Marzo | 19 Enero | ||
| 16 Febrero | 18 Febrero | ||
| 14 Mayo | 14 Marzo | 19 Mayo | |
| 14 Julio | |||
| 16 Agosto | 16 Julio | 18 Agosto |
¿Y ahora? Pasemos a la tercera frase, la de Matías: “Yo no sé tampoco, pero lo que también sé, es que Santiago no sabe”. Matías no aporta nada nuevo cuando dice que él no sabe. Sin embargo, al decir que Santiago no sabe, es porque Matías sabe que el mes que escuchó Santiago no puede aparecer una sola vez (como es el caso de ‘enero’). Como enero aparece únicamente en el año 2004, eso implica que Paula no le dijo 2004 a Matías y por lo tanto, podemos tachar todos los de ese año.
Moraleja: quedan únicamente seis fechas posibles:
| 16 marzo 2002 | 16 febrero 2003 |
| 14 mayo 2002 | 14 marzo 2003 |
| 16 agosto 2002 | 16 julio 2003 |
Allí es donde Santiago dice: ¡Ahora yo sé! ¿Cómo puede saber él ahora? ¿Cómo hace para determinar cuál de las seis es la fecha que buscan? ¿Qué mes tuvo que haber escuchado él? Seguro que tiene que ser un mes que aparezca una sola vez... Luego, podemos tachar las dos apariciones de marzo (16 marzo 2002 y 14 marzo 2003). Y allí es donde Lucio dice: “ahora yo también se”, por lo que uno puede tachar las fechas que tengan el día repetido (16 marzo 2002, 16 de agosto 2002, 16 febrero 2003 y 16 julio 2003).
Cuando Matías dice: ¡Yo también sé!, queda bien claro que la fecha es el... ¡14 mayo del 2002! ¡Y listo!
Frase final: ¿no es increíble? Había 20 fechas, cada uno escuchó una parte de la verdad. Sin embargo, la búsqueda se fue encaminando en la medida en la que cada uno de ellos fue hablando. No fue solamente el dato que recibieron de Paula sino que hubo mucha otra información que fue proveyendo cada uno, aún cuando decían yo no sé pero ‘el otro’ tampoco sabe.
Para mi gusto, es uno de los problemas de lógica más espectaculares que uno puede presentar. Usted.. ¿qué dice?
[1] “Futebol: A Brazilian Way of Life” (“Fútbol: la forma de vida del brasileño”), por Alex Bellos.
[2] La primera la escribí en varios sitios, pero es fácil encontrar la versión que salió en Página 12 el 19 de abril del 2015: http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-270871-2015-04-19.html
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