Cumpleaños coincidentes
¿Quiere poner a prueba su capacidad para intuir?
¿Quiere poner a prueba su capacidad para intuir? Si estuviéramos conversando, me permitiría garantizarle que la/lo voy a sorprender. Es decir, salvo que usted hubiera oído hablar de este problema con anterioridad, creo que no hay forma que una persona pueda siquiera aproximarse a la solución correcta. Y por eso el desafío. Y no crea que a mí me pasó algo distinto. Cuando supe de él, hace más de 45 años, me impactó de tal forma que estuvimos un rato muy largo con varios colegas tratando de entender por qué era cierto. Y sí, al final nos convencimos todos: ¡es cierto!
A modo de preparación, quiero hacerle una pregunta: suponga que usted y yo entramos juntos a un restaurante, a un cine, a una cancha... (En tiempos sin cuarentenas, claro.) No importa, a un lugar en donde haya mucha gente: ¿hay alguna garantía de que haya dos de esas personas que cumplan años el mismo día?
Fíjese que no estoy diciendo que tengan la misma edad. No. Me alcanza con que cumplan años el mismo día. ¿No le dan ganas de pensar a usted?
Por ejemplo, ¿alcanzarán diez personas para estar seguros que dos festejan sus cumpleaños el mismo día? No, por supuesto. ¿Por qué? Bueno, porque las diez personas podrían haber nacido diez días distintos del año... toda una obviedad.
Con la misma idea, tampoco alcanzarían 30 ni 50, ni siquiera 100. Es que, por la misma razón, todos podrían tener distintos cumpleaños.
Ahora bien: usted advierte que si yo sigo aumentando el número de personas, llegará un momento en que este argumento dejará de ser válido. Por ejemplo, si hubiera 1000 personas, entonces sí, seguro que tiene que haber muchas más que dos que cumplen años el mismo día.
¿Puede deducir usted por qué esto último que escribí es cierto? Le pido que no avance de no ser así, porque la idea es llegar juntos hasta el final del artículo tratando de entender qué pasa.
De todas formas, intuyo que usted ya descubrió por qué, pero igualmente sigo. ¿En qué número se produce el quiebre? Es decir, ¿al llegar a qué número pasamos de “no estar seguros” a “sí estar seguros” de que hay dos que festejan su cumpleaños el mismo día?
Sí, ya sé. Usted está tentado en decir... 365. Y está “cerca”, pero no es la respuesta “técnicamente” correcta. Podríamos conseguir 365 personas, de manera tal que todas hubieran nacido en días distintos del año. Es difícil que uno conozca un grupo así, pero ciertamente no es imposible. Pero aún así, me imagino que si me tuviera delante suyo, me estaría increpando: “Pero 365 no es la solución tampoco”. Y 366 tampoco lo es. Es que si uno incluye a una persona que nació el 29 de febrero, podrían festejar hasta 366 cumpleaños distintos. Pero justamente ese es el límite. En cuanto haya 367 personas, inexorablemente tiene que haber –por lo menos– dos que tienen el mismo cumpleaños. Es que un año, aunque sea bisiesto, no tiene más de 366 días. Si yo junto a 367 personas, no importa cuáles sean, seguro que puedo encontrar —en ese grupo— por lo menos dos con el mismo cumpleaños.
¿Y entonces? Bueno, entonces llegó el momento en que yo le haga la pregunta que vengo anticipando desde que empecé la nota. Si en lugar de preguntar cuántas personas tengo que juntar para estar seguros que dos cumplen años el mismo día, yo le preguntara:
¿Cuántas tiene que haber para que la probabilidad de que dos tengan el mismo cumpleaños sea mayor que ½, o sea, que sea mayor que un 50 por ciento?
En este caso, ¿qué me contestaría?
Fíjese que ahora no le pido que podamos asegurar con certeza que haya dos que tengan el mismo día como cumpleaños, pero lo que yo me quiero asegurar es que, en términos de porcentaje, yo tenga más de un 50 por ciento de posibilidades de encontrar a esas dos personas. ¿Cómo se calculará esa probabilidad? Y por otro lado, ¿qué resultado dará?
Acá es donde llegó el momento de la intuición. ¿Cuántas personas cree usted que hacen falta? Antes de que yo pase al siguiente párrafo, le sugiero que le dedique un instante usted.
Inexorablemente todas las personas a quienes les planteé el problema contestaron un número innecesariamente grande. Y por supuesto, lo mismo me pasó a mí: no me creo nadie diferente. Pero lo que es extraordinario, es que ese número es nada más que 23. Sí, veintitrés.
Parece raro, ¿no? O mejor dicho, parece mentira que con tan pocas personas, uno pueda saber que ese porcentaje sea mayor que 50 por ciento.
Tengo varias anécdotas para incorporar acá, pero solamente voy a referirme a dos. Hace casi 25 años, Lalo Mir estaba haciendo un programa al que me invitó a participar para hacer algunos juegos matemáticos. Una vez por semana, Lalo invitaba a sus oyentes para que presenciaran el programa en el estudio. Justamente uno de esos días me pidió si yo podía hacer algunas pruebas con ellos.
Allí comenté que estaba “casi” seguro de que había dos que cumplían años el mismo día. Ni bien lo dije, Lalo me miró y me dijo: “¿Estás seguro de lo que dijiste? Fijate que en este estudio hay lugar para nada más que 45 personas”.
Le dije: “Lalo, con 45 personas, la probabilidad de que dos cumplan años el mismo día llega a casi un 95 por ciento. Quedate tranquilo”. Y así fue. Sólo en las primeras tres filas ya había 30 personas. Les pedí que fueran diciendo en voz alta el día que habían nacido. Por supuesto, el resultado no dice que haya garantías de que existan esas dos personas. Dice que la probabilidad de que haya dos con el mismo cumpleaños empieza a ser más grande que ½ (o mayor que un 50 por ciento) si hay 23 personas o más. En realidad, con 30 personas como él me proponía en principio, ese porcentaje ya supera el 70 por ciento. Y así fue. Ante la sorpresa del público, pero también de Lalo, aparecieron esas dos personas. Y eso se repite una y otra vez ante los distintos auditorios.
¿Falló alguna vez? Por supuesto que sí. Cuando uno habla de que hay un porcentaje muy alto de que algo suceda, no es una garantía que vaya a pasar. Un 95 por ciento de posibilidades, sigue siendo un número que difiere de 100 por ciento. Por lo tanto, suele pasar (en un 5 por ciento de los casos) que uno no encuentra lo que busca.
Antes de contar otra anécdota sobre el tema, quiero poner algunos números complementarios [1].
Fíjese en la siguiente tabla:
Número de personas Porcentaje que 2 cumplan años el mismo día
2 0.27%
5 2.71%
10 11.69%
15 25.29%
20 41.14%
22 47.57%
23 50.73%
27 62.69%
30 70.63%
35 81.44%
41 90.32%
50 97.04%
57 99.01%
Dos datos salientes (para mí, pero usted puede elegir otros, por supuesto):
- Con 23 personas, ya hay más de un 50 por ciento de posibilidades que haya dos que hayan nacido el mismo día
- Con 57 personas (¡nada más!), ese porcentaje ya supera el ¡99 por ciento! Increíble.
Una última historia. Corría el año 2005. Yo le había pedido a Manu Ginóbili (cuando todavía estaba activo, claro está), que me ayudara a testear los problemas que había escrito en el primer libro de divulgación en matemática. Fue el primero de la saga, “Matemática… ¿estás ahí?”
Manu se quedó sorprendido como todos cuando llegó al resultado sobre los cumpleaños. Leyó el artículo, leyó los argumentos y se convenció. Cada vez que tenía que jugar un partido de la NBA, entre titulares y suplentes cada equipo presenta una planilla con los nombres, lugar de nacimiento, edades y experiencia de 15 jugadores. Con esos datos ya tenía 30 personas por partido, y eso, contando nada más que los jugadores. Además estaban los cuerpos técnicos, asistentes, etc. Incluyéndolos a todos, la probabilidad de que hubiera dos personas que tuvieran el mismo cumpleaños superaba el 90 por ciento. ¡Muy fácil para él! ¿Por qué digo muy fácil? Porque Manu les apostaba ‘algo’ a quienes no le creyeran.
A lo largo de los años, los compañeros a quienes Manu pudo sorprender en San Antonio fueron cambiando. Alguna vez le tocó a Tim Duncan y a Tony Parker. Pero después se fueron sumando Fabricio Oberto, Matt Bonner y Tiago Splitter, y más acá en el tiempo, Boris Diaw, Patty Mills y Marco Belinelli. Con todos pasó lo mismo. De acuerdo con lo que me dijo Manu, quien terminó apostando algún café o alguna cena a los más descreídos, los datos de este artículo le sirvieron no solo para ganarse un respeto particular para predecir cumpleaños sino que, además, le permitió comer gratis en más de una oportunidad. Y creo no fueron pocas.
Moraleja: nuestra capacidad para intuir, la suya, la mía, está bastante poco entrenada. Las cuestiones probabilísticas son fascinantes por eso.
Si de mí dependiera, yo invitaría a todos los que discuten y deciden sobre los temas a tratarse en las escuelas primarias (y ni hablar las secundarias) para que no dejen afuera todo lo que tenga que ver con combinatoria, probabilidades, estadística... y programación. Ya no se trata de preparar a nuestros jóvenes para el futuro. En cualquier momento, estos temas empiezan a formar parte del pasado.
Las cuentas
Para aquellos interesados en avanzar un paso más: si uno toma dos personas cualesquiera, la probabilidad de que no hayan nacido el mismo día es –obviamente– muy alta. Se calcula así:
(365/365) x (364/365) = (364/365) = 0,99726...
¿Por qué? Es que la primera persona pudo haber nacido cualquier día de los 365 que tiene un año (voy a obviar los años bisiestos) y a la segunda, le bastará con no haber nacido ese mismo día. Para que esto ocurra, bastará con que haya nacido en cualquiera de los 364 días restantes.
Si ahora agrego una persona más, ya tenemos tres. Entonces la probabilidad de que no haya ningún par de ellas que hubieran nacido el mismo día se calcula así:
(365/365) x (364/365) x (363/365) = 0,99179...
Un paso más. Con cuatro personas, la probabilidad de que ningún par de ellas hayan nacido el mismo día, se calcula así:
(365/365) x (364/365) x (363/365) x (362/365) = 0,983644...
Como usted advierte, a medida que vamos agregando personas, el producto que se obtiene se hace cada vez más pequeño. La pregunta entonces es la siguiente:
¿Cuántas personas tengo que agregar para que este número sea menor que ½? Y la respuesta es que a ese número se llega por primera vez cuando uno tiene 23 personas.
(365/365) x (364/365) x (363/365) x (362/365) x (361/365) x...x (345/365) x (344/365) x (343/365) = 0.4927027....
O sea, al juntar 23 personas al azar, la probabilidad de que ningún par de ellas haya nacido el mismo día, es menor que ½ . Por lo tanto, esto es lo mismo que decir que la probabilidad de que SÍ haya entre ellas un par que haya nacido el mismo día, ahora es mayor que ½, o sea, mayor que un 50 por ciento.
Y justamente eso es lo que queríamos encontrar.
Algo más
A lo largo de los años he presentado este problema en múltiples oportunidades. Es un clásico. No importa el auditorio, la circunstancia, el tipo de preparación del público… la reacción es siempre la misma: ¡asombro! ¿Cómo puede ser posible que sean suficientes 23 personas para que la probabilidad de que dos cumplan años el mismo día sea mayor que ½? ¿Cómo? Más arriba escribí la ‘demostración’ de que esto es cierto. Por otro lado, la respuesta que le surge a la mayoría de las personas es que para que eso suceda, tendría que haber por lo menos 183 personas. Es que la intuición pareciera indicarnos (y fíjese que me incluyo porque es lo que me pasó a mí), decía, que la intuición sugiere que tienen que ser 183 porque 183 es la mitad de 366.
Ahora tengo otra pregunta diferente:
“Suponga que usted entra a un restaurante y se cuestiona: ¿cuántas personas tendría que haber acá para que la probabilidad que yo encuentre alguien que cumpla años el mismo día que yo sea mayor que ½, o sea, que las posibilidades sean más que un 50 por ciento?”
Como usted advierte, esta es una pregunta distinta de la que había hecho antes. Una cosa es preguntarse cuántas personas tiene que haber para que la probabilidad que dos cualesquiera cumplan años el mismo día, y otra cosa muy distinta es preguntarse cuántas personas tiene que haber para que la probabilidad de que haya alguien que cumpla años el mismo día que usted sea mayor que ½.
En el primer caso, tal como escribí más arriba, alcanza con que haya 23 personas. Para el segundo caso, hacen falta muchas más personas; el número se incrementa muchísimo (¿quiere pensar usted por qué antes de seguir leyendo?).
La respuesta es que hace falta que en el restaurante haya 253 personas. ¿Por qué? ¿De dónde sale este número 253? Acompáñeme por acá.
Elija una persona cualquiera que está en el restaurant. ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona no cumpla años el mismo día que usted? Como vimos más arriba, esa probabilidad es 364/365 (ya que pudo haber nacido en cualquiera de los 364 días del año que usted no nació.
Ahora, elija una segunda persona. ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona tampoco haya cumplido años el mismo día que usted? Una vez más, la respuesta es la misma: 364/365. Juntando los dos hechos, si usted elige dos personas cualesquiera, al azar, entre el grupo de personas que están en el restaurante, la probabilidad de que ninguna de las dos haya cumplido años el mismo día que usted se obtiene multiplicando las dos probabilidades, o sea:
(364/365) x (364/365) = (364/365)2 = 0,9945
O sea, casi un 99.5 por ciento. Ahora, sigamos agregando personas.
Con una tercera, la probabilidad de que ninguna de las tres haya cumplido años el mismo día que usted es:
(364/365) x (364/365) x (364/365) = (364/365)3 = 0,9918
Voy a escribir acá una columna con lo que va sucediendo a medida que voy agregando cada vez más personas. Mi objetivo es encontrar cuántas hacen falta para que la probabilidad de encontrar alguna que cumpla años el mismo día que usted sea mayor que ½, o sea, que las chances sean mayores que un 50 por ciento. Acá va:
Personas Probabilidad de que NO cumplan años el mismo día que usted
2 (364/365)2 = 0,9945
3 (364/365)3 = 0,9918
4 (364/365)4 = 0,9863
5 (364/365)5 = 0,9836
(Me salteo algunas, y voy a dar ‘pasos’ de a 10)
10 (364/365)10 = 0,9729
20 (364/365)20 = 0,9466
30 (364/365)30 = 0,9209
40 (364/365)40 = 0,8960
50 (364/365)50 = 0,8718
…. Me salteo hasta llegar a 245 y voy agregando de a una otra vez:
245 (364/365)245 = 0,5106
246 (364/365)246 = 0,5092
247 (364/365)247 = 0,5078
248 (364/365)248 = 0,5064
249 (364/365)249 = 0,5050
250 (364/365)250 = 0,5036
251 (364/365)251 = 0,5022
252 (364/365)252 = 0,5008
253 (364/365)253 = 0,4995
Y acá paro. ¿Por qué? Es que encontré lo que quería. Una vez más, ¿por qué? Fíjese lo que sucedió. Si yo elijo 253 personas (el último número de la lista), en la columna de la derecha, dice que la probabilidad de que ninguna de las 253 haya cumplido años el mismo día que usted es 0,4995… o sea, hay 49.95 por ciento de chances de que eso sea cierto. O lo que es lo mismo, hay más de un 50 por ciento de posibilidades que entre las 253 haya al menos una que haya nacido el mismo día que usted.
Resumiendo entonces: la probabilidad de que entre n personas, alguna cumpla el mismo día que usted es:
P(n) = 1 - (364/365)n.
El primer valor para el cual P(n) es mayor que ½ es cuando n = 253.
Es decir,
P(253) = 1 - (364/365)253 = 1 -0,4995 = 0,5004
[1] Escribo los porcentajes, pero para ser rigurosos, las probabilidades de que un evento suceda (o no), se mide en números reales que están entre 0 y 1. Por eso, cuando usted escucha que la probabilidad de que salga ‘cara’ al tirar una moneda, es de un 50 por ciento, es ‘técnicamente’ incorrecto. Esa probabilidad es de un 0.5, o si usted prefiere, ½. Igualmente, en el texto que acompaña esta nota, me tomé la licencia de que escribir los porcentajes para que los números sean más claros.
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