Cuatro parejas invitadas a una fiesta
No conocer a nadie puede ser un problema en más de un sentido
El siguiente problema es extraordinario. Quiero contar brevemente la historia de cómo me tropecé con él. En febrero del año 2009, en el marco de las conferencias TED, en California, uno de los expositores fue Dan Ariely, profesor en el MIT (Instituto de Tecnología de Massachusetts, en Cambridge, muy cerca de Boston). Había leído su último libro (Predictably Irrational, o sea, Predeciblemente irracional) y me despertaba mucha curiosidad escucharlo hablar. No sólo no defraudó en los 18 minutos que tuvo para exponer, sino que fue uno de los más aplaudidos luego de su charla.
Poco tiempo después, revisando su página web y la historia de Ariely, encontré el problema que quiero contar acá y que me pareció extraordinario. Ahora bien: ¿por qué extraordinario? Bueno, creo que cuando uno se encuentra con un problema cuya solución le parece imposible con los datos ofrecidos, lo pone en una categoría distinta respecto de la mayoría de las cosas que uno piensa habitualmente.
Es decir, puede que un problema cualquiera sea muy difícil, con solución esquiva o potencialmente imposible de encontrar. Pero eso sólo habla de que algunas veces no tenemos el entrenamiento suficiente para abordarlo. Diferente es el caso de un problema en el cual uno está convencido que con los datos que le dieron no serán suficientes para encontrar la respuesta. Eso lo pone en una categoría distinta. Y justamente este problema pertenece a un departamento diferente.
No sé si el autor original es Ariely. Más aún: no lo creo. Pero es irrelevante. Yo lo vi allí por primera vez y luego no encontré un lugar en donde refiriera a quien lo planteó por primera vez, pero igualmente, acá va. Eso sí: léalo con atención (es verdaderamente sencillo… al menos de leer) y después se transforma en algo entretenidísimo para pensar.
Una pareja se muda a una nueva ciudad, donde no conoce a nadie. Con la idea de relacionarse y conseguir amigos, deciden poner un aviso en el diario local, invitando a parejas (como ellos, de edades parecidas, entre 20 y 40 años de edad) a que se presenten el viernes siguiente a las 8 de la noche en una fiesta en la casa de ellos.
Llegó el día viernes, y a las 8, tal como estaba previsto, se presentan cuatro matrimonios. De esta forma, entre los dueños de casa y los visitantes hay 10 personas. Nadie conoce a nadie (salvo los miembros de cada pareja entre sí). El dueño de casa le pide a todos los participantes (nueve, porque se excluye él) que se acerquen a las personas que no conocen, se presenten y se den la mano (por supuesto, con la excepción del marido y/o mujer de su propia pareja).
Después de unos pocos minutos, el dueño de casa interviene otra vez, y les pide a todos que se detengan. Que no se saluden más, ya que él quería preguntarle a cada uno a cuántas personas había saludado hasta allí (estrechándole la mano, se entiende).
Obtuvo 9 (nueve) respuestas diferentes entre sí: 0,1,2,3,4,5,6,7 y 8, entendiendo que la persona que contestó cero, es porque todavía no había alcanzado a saludar a nadie. Otra persona le dijo “saludé exactamente a una persona”, otra le dijo, “saludé exactamente a dos personas” y así, hasta que la última persona le contestó que había saludado exactamente a ocho personas (que justo corresponderían a los integrantes de las otras cuatro parejas).
Y aquí es donde llega el momento en el que –creo— transforma a este problema en algo verdaderamente espectacular. Fíjese lo que usted piensa. Con los datos que escribí hasta acá, tengo una pregunta para hacerle:
¿Cuántas manos estrechó la mujer del anfitrión?
O mejor dicho, ¿a cuántas personas saludó la dueña de casa? Ya sé, parece imposible que uno pueda contestar esta pregunta, pero créame que sí, que se puede. Ahora, es su turno.
Solución
Para poder abordar este problema, le propongo que reduzcamos inicialmente el número de parejas que llegaron a la fiesta, y veamos qué sucede en ese caso. Para eso, pensemos que solamente se presentó una pareja (además de los dueños de casa). En este caso, cuando el dueño invitó a que todos se saludaron, obtuvo estas respuestas:
1) Yo no saludé a nadie todavía (cero saludos)
2) Yo saludé exactamente a una persona (un saludo)
3) Yo saludé exactamente a dos personas (dos saludos)
¿Se puede ahora contestar la pregunta de a cuántos saludó la dueña de casa?
Veamos.
a) Si ella contestó no saludé a nadie, entonces, ¿quién hubiera podido decir que saludó a dos personas? Ciertamente ninguno de los dos invitados, porque como entre ellos no se saludan, si no saludaron a la dueña de casa, sólo pudieron haber saludado al dueño de casa. Luego, esta alternativa no es posible
b) Si ella hubiera contestado que saludó a dos personas, entonces eso significaría que tuvo que haber saludado a los dos integrantes de la pareja invitada (porque no pudo haber saludado a su marido). Pero si es así, ninguno de los integrantes de la pareja invitada pudo haber dicho no saludé a nadie. O sea, este caso tampoco es posible.
En consecuencia, la única alternativa que le queda a la dueña de casa es haber dicho: ¡yo saludé exactamente a una persona!
Y eso resuelve el problema. (Si uno quiere pensar un poquito más, uno de los integrantes de la pareja invitada saludó a dos personas, que debieron haber sido los dueños de casa, mientras que el otro integrante de la pareja invitada, no saludó a nadie.)
Hasta acá entonces, hemos resuelto el problema en el caso de una sola pareja. ¿Qué pasa ahora si en lugar de una pareja invitada, vienen dos? ¿Se puede contestar ahora la pregunta? Lo que conviene recordar acá es que las respuestas que obtuvo el dueño de casa son: 0,1,2,3 y 4. Es decir, una persona que no saludó a nadie, otra que saludó exactamente a una persona, otra exactamente a dos… hasta llegar a una de ellas que saludó exactamente a 4 personas. ¿A cuántas tuvo que haber saludado la mujer?
Acá, como antes, la/lo invito a pensar. Y cuando quiera, siga acá abajo. Eso sí: trate de ver si puede llevar el caso de las dos parejas que tiene delante suyo, al caso anterior, en donde había una sóla pareja. Usted ya sabe que si fuera una sola pareja invitada, entonces usted ya tendría la solución.
Sigo yo. Fíjese que la mujer no pudo haber dicho que saludó a cuatro personas. Porque si hubiera saludado a cuatro, ¿quién pudo haber dicho que no saludó a nadie? Claramente, como la dueña de casa no saludó a su marido, para haber registrado cuatro saludos, es porque saludó a los cuatro integrantes de las dos parejas. Entonces ninguna de esas cuatro personas pudo haber dicho que no saludó a nadie.
Luego, como conclusión, la mujer dueña de casa ¡no pudo haber dicho que saludó a cuatro personas!
Entonces uno de los integrantes de alguna de las dos parejas fue el/la que dijo que saludó a cuatro. Y esos cuatro tuvieron que haber sido los dos dueños de casa y los integrantes de la otra pareja. Esto último (el hecho de que esta persona hubiera saludado a los dos dueños de casa y a los integrantes de la otra pareja) dice que ninguno de ellos pudo haber dicho que no saludó a nadie.
Entonces, ¡eso lo tuvo que haber contestado su pareja! Es decir, los integrantes de una de las parejas son los que contestaron 4 y 0. Los llamo A y B.
Quitémoslos por un momento de la escena. Sí, hagamos de cuenta que esta pareja A-B no existe. ¿Quiénes quedan ahora? Los dueños de casa y los integrantes de la otra pareja. Por descarte, esas personas son las que saludaron a 1, 2 y 3 personas.
Si ahora el dueño de casa reformulara la pregunta y les pidiera a cada uno que ignoraran haber saludado a A, y que le dijeran cuántas personas saludaron, ¿qué pasaría? En este caso, el que dijo 1, diría 0, el que dijo 2, diría 1 y el que dijo 3, diría 2.
Es decir, uno habría convertido el problema de dos parejas invitadas, al de una pareja invitada. Y ese problema es el que ya sabe cómo resolver. Y sabe entonces, que la mujer de él contestó que saludó a 1 persona. Por lo tanto, en este caso, el caso de dos parejas, la mujer tuvo que haber sido la que contestó que saludó a dos personas.
A esta altura entonces, estoy seguro de que usted entiende de qué se trata el caso más general. Si ahora, en lugar de dos parejas invitadas, hubieran respondido tres parejas. Las potenciales respuestas, habrían sido: 0,1,2,3,4,5 y 6. La dueña de casa, igual que en el caso anterior, no podría ser que fuera la que hubiera dicho que saludó a seis personas (porque entonces, nadie podría haber contestado cero). Luego, los integrantes de alguna de las parejas son los que tienen que haber contestado seis y cero. Uno los saca a ambos, y entonces se queda en lugar de tres parejas con dos, y en ese caso, ya sabe que la mujer dueña de casa saludó a dos. Ahora, agregando la pareja que falta, la respuesta que tuvo que haber dado la mujer es tres.
Conviene hacer una breve observación acá: en el caso de una pareja, la mujer saludó a una persona. En el caso de dos parejas, a dos personas. En el caso de tres parejas invitadas, a tres personas. La idea general es que en el caso de cuatro parejas, la mujer debió haber dicho cuatro saludos.
Y este caso, el de las cuatro parejas, se puede generalizar a tantas parejas como uno quiera. Si hubieran aceptado la invitación veinte parejas, y si cada uno de ellos hubiera contestado (invitados por el dueño de casa) que saludaron a : 0,1,2,3,4,5, …, 38, entonces, la dueña de casa debió haber saludado a 20 personas. Más aún, la dueña de casa saluda a un integrante de cada pareja y al otro no.
Este procedimiento, se conoce como de recursión, y consiste en reducir un caso más complejo a otro más sencillo, y aprovechar lo que uno aprende en esa situación, para luego ir obtener una fórmula general, que conteste todos los casos.
¿No es un problema fascinante?
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