Cartas marcadas

 

La primera vez que leí este problema fue en un libro de Paul Zeitz, un matemático norteamericano, profesor en la Universidad de California en Berkeley, que está decidido no solo a popularizar esta ciencia, sino a hacerlo a través de problemas. Decenas de problemas, cientos de problemas... y si me acepta la exageración, ‘miles de problemas’.

Tendría que pensar un largo rato (y posiblemente la búsqueda sea infructuosa) para encontrar alguna persona que haya compilado semejante cantidad de ejercicios tan ilustrativos como los que ofrece Zeitz. No tengo la expectativa de pretender que el que voy a presentar acá sea ni el mejor, ni el más representativo, ni el más saliente, ni el que ‘hizo historia’. No. Es solamente un problema… pero no es un problema más, porque sea cual fuere la razón por la cual la matemática le produce a usted algún tipo de curiosidad, este problema la (o lo) hará sentir bien. Ya verá por qué. Hagamos un acuerdo: al finalizar todo, encontrémonos más abajo y ‘discutamos en forma virtual’ si usted lo hubiera elegido también (o no). Acá voy.

Elijo una versión cualquiera (porque hay varias), pero en esencia todas se reducen a pensar las mismas ideas.

Tomemos un mazo de n cartas, pero no hace falta que sean cartas verdaderas. Lo que hace falta es que estén todas numeradas, digamos desde la carta número 1 hasta la número n. Si prefiere que empiece directamente con un ejemplo, supongamos que tenemos 10 cartas, numeradas de la uno hasta la carta número diez. 

Las mezclamos, y aparecerán en un determinado orden (no importa cuál), pero solo para fijar las ideas, digamos que este es el orden en el que quedaron en el mazo (y las voy poniendo como si estuvieran ‘descubiertas’ (o sea, las pongo ‘boca arriba’, para que se vea claramente qué número de carta es. ¿Puedo pedirle que usted haga lo mismo? Es decir, elija diez cartas de un mazo, y haga lo mismo que yo: mézclelas primero y anote el orden en el que aparecieron. Si no quiere anotar, no hace falta: simplemente reproduzca lo que yo voy a hacer con las mías y fíjese lo que sucede con el orden que usted encontró.

Esto fue lo que me pasó a mí:

7 3 1 10 2 9 8 6 5 4

Como la primera carta es un siete, yo voy a revertir el orden de las primeras siete cartas. Es decir, si usted se fija en mi caso particular, las primeras siete cartas son:

7 3 1 10 2 9 8.

Las reordeno ahora, y dejo las tres últimas como están. Ahora las cartas aparecen así:

8 9 2 10 1 3 7 6 5 4

Y a partir de este punto repito el proceso (y usted haga lo mismo con sus cartas). Voy a ir avanzando en forma sistemática, siempre teniendo en cuenta cuál es la carta que lidera todo (en el próximo paso será el número ocho)  y revirtiendo el orden desde allí. Acá abajo resumo toda la información que tenemos hasta ahora.

1. 7 3 1 10 2 9 8 6 5 4
2. 8 9 2 10 1 3 7 6 5 4
3. 6 7 3 1 10 2 9 8 5 4
4. 2 10 1 3 7 6 9 8 5 4
5. 10 2 1 3 7 6 9 8 5 4
6. 4 5 8 9 6 7 3 1 2 10
7. 9 8 5 4 6 7 3 1 2 10
8. 2 1 3 7 6 4 5 8 9 10
9. 1 2 3 7 6 4 5 8 9 10.

Y acá paro [1]. ¿Por qué? Porque llegamos al uno. 

Yo estoy tentado de poner y proponerle varias preguntas. Escribo algunas:

1. ¿siempre pasa?
2. ¿por qué pasa?
3. ¿cómo se puede demostrar que no importa el orden original siempre vamos a terminar en el número uno? 
4. ¿depende que sean diez cartas o sucederá lo mismo cualquiera sea el número inicial de cartas?

Naturalmente, este también es el momento en el que usted –creo— está en condiciones de ofrecer algunas respuestas. ¿No quiere pensar un rato?

Mientras tanto yo sigo más abajo, pero como siempre, no avance, no lea lo que yo escribo sin siquiera haberse dado a usted misma/o la oportunidad de descubrir dónde residen las dificultades.

 

Algunas reflexiones

Quiero proponerle que me acompañe en este camino. Ya sé que como usted no está acá, las reflexiones son monólogos, y yo no sé cuánto le servirán, pero como no tengo alternativa, acompáñeme y vemos.

Para fijar las ideas: el objetivo es tratar de convencerme/nos de que siempre este tipo de secuencias terminará con el uno como primera carta.

Dicho esto, lo primero que pensé fue: como hay nada más que diez cartas, en algún momento, no importa cuál haya sido el orden inicial, estas secuencias tienen que repetirse, algo así como ‘entrar en un ciclo’. Una vez que uno llega a alguna de ellos, listo: todo seguirá igual indefinidamente.

Entonces pensé: si una carta aparece por primera vez como primera, digamos el 4, ¿todas las cartas que le siguen estarán siempre ordenadas de la misma forma? Me entusiasmé con esa idea y fui a corroborar con el ejemplo que está escrito más arriba… Pero me decepcioné. Fíjese que en dos órdenes que aparecen en (4) y (8). Los dos empiezan con el número 2 (como primera carta), pero las cartas que le siguen no están ordenadas de la misma forma. Mmmmmmm…

Eso quiere decir que aunque la primera carta se repita, eso no garantiza que desde allí empieza un ciclo. La idea hubiera sido interesante, pero… ¡es falsa! Lamentablemente, no funciona.

Tenía que buscar por otro lado. Entonces pensé lo siguiente: si en algún momento llegara al uno (como primera carta), allí detendría el proceso. ¿Cuáles cartas pueden ocupar el primer lugar? 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. ¿Cuál es la mayor? Fui rápido a fijarme y descubrí que en algún momento aparece el 10 (en el paso (5)). Ahora bien: cuando el 10 (que es la carta mayor) aparece en el primer lugar, en el próximo paso tendrá que ir al final (como efectivamente sucede). Fíjese que a partir del paso (5), todos los órdenes que siguen tienen al 10 como última carta. ¿Y por qué pasa eso? Eso sucede porque el 10 va al final, y todos los órdenes que le sigan, nunca volverán a modificar al 10. En algún sentido, ¡nunca más vamos a tocar al 10!

Pero ahora, de todos los órdenes que quedan, como el 10 no va a estar incluido, habrá alguna carta de todas las que aparezcan primeras (que no va a ser 10), que tendrá que ser la más grande. (Fíjese y verá que en nuestro caso es el 9, pero no importa, lo que sí importa es que de todos los órdenes que aparecen después de excluir al 10, tiene que haber alguna carta que sea la más grande y que aparezca primera).

Uno descubre (en nuestro caso) que es el número 9. ¿Y qué le sugiere esto? Lo que importa es que cuando 9 sea la primera, eso indicará que tendremos que revertir las primeras 9 cartas, y por lo tanto, la carta número 9, ocupará el …¡noveno lugar! Pero, más aún: todas las cartas que aparezcan primeras en los órdenes que quedan, tendrán que ser todas menores que 9. De todas esas, habrá alguna que será la mayor (no importa cuál, aunque en el ejemplo nuestro es el 2). La voy a llamar carta M. 

Cuando M ocupe el primer lugar y yo tenga que revertir el orden, ¿qué lugar va a ocupar M en ese orden? Justamente, va a ocupar el M-simo lugar…. Y de allí, nunca más va a salir. 

¿Qué hacer ahora? Lo mismo. Ahora, de los órdenes que quedan, habrá una carta que tendrá el número mayor (que será estrictamente menor que M). Cuando llegue allí, en el próximo paso la voy a ubicar en ese lugar y de allí no saldrá más, pero lo interesante de esta secuencia es que estas cartas, las que aparezcan primeras, van siendo cada vez más chicas. Llegará un momento en el que inexorablemente tendrá que ser… ¡el número uno! Y listo.

 

Algunas reflexiones más

Supongo que usted estará de acuerdo conmigo que esta ‘demostración’ (a la que matemáticamente le faltaría agregarle algún tipo de rigor), es independientemente de que sean 10 cartas. Yo podría haber elegido mil y el procedimiento y la argumentación sería la misma. ¿Está de acuerdo conmigo?

Y para terminar, le había propuesto al principio que nos encontraríamos acá para discutir si valió la pena incluir (o no) este problema. Como no puedo escuchar su respuesta, quiero exponer un solo argumento más (además del gusto personal) que obviamente puede perfectamente diferir del suyo, pero, el hecho que uno pueda presentar la solución de un problema, usando algunas herramientas como las siguientes (que aparecieron en el camino):

1. hay un número finito de posibilidades;
2. hay una carta que tiene que ser la más grande;
3. a partir de algún momento tendría o debería aparecer un ciclo (si es que no apareció el número uno como primera carta en algún momento del proceso);
4. que aparezca esa carta como primera no garantiza que haya aparecido un ciclo. O sea, puede ser que una carta sea primera, pero que las que le sigan tengan un orden diferente;
5. que el número de cartas que van quedando como potenciales ‘primeras’ son cada vez más chicas.. y por lo tanto, en un número finito de pasos, inexorablemente habrá que llegar al uno.

 

 

 

 

 

[1] Un nuevo ejemplo, si es que llegara a necesitarlo. Suponga que el orden original de las cartas es: 3 5 7 1 2 9 6 4 8 10. En ese caso, el recorrido será el siguiente:

1. 3 5 7 1 2 9 6 4 8 10
2. 7 5 3 1 2 9 6 4 8 10
3. 6 9 2 1 3 5 7 4 8 10
4. 5 3 1 2 9 6 7 4 8 10
5. 9 2 1 3 5 6 7 4 8 10
6. 8 4 7 6 5 3 1 2 9 10
7. 2 1 3 5 6 7 4 8 9 10
8. 1 2 3 5 6 7 4 8 9 10

 

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