Bolitas

 

Supongamos que hoy es su cumpleaños. Yo le regalo una caja que contiene un juego. La curiosidad invita a abrir la caja y ver qué es lo que hay adentro y eso, justamente, es lo que usted hace.

Es muy sencillo. Hay una bolsa de plástico que contiene 105 bolitas. No hace falta que las cuente, porque el juego se llama ‘105’. ¿Qué hacer ahora?

Hay un papel con un “Manual de Instrucciones”. Usted despliega el papel y lee:

1)   Abra la bolsa con las 105 bolitas

2)   Forme con ellas tres pilas diferentes de la siguiente forma:

1. Una con 49 bolitas
2. Otra con 5 bolitas
3. La tercera pila contiene las 51 restantes.

3)    Se permiten hacer únicamente dos operaciones con las bolitas:

1. Puede juntar dos pilas con todas las bolitas que hay en cada una y formar una nueva pila con ellas.
2. Si una pila tiene un número par de bolitas, entonces la puede dividir en dos pilas que tengan exactamente el mismo número de bolitas.

El juego consiste en lo siguiente: usando únicamente las dos operaciones ‘legales’ o ‘permitidas’, ¿se puede elaborar una estrategia que permita llegar a tener 105 pilas de una bolita cada una?

Si se pudiera, ¿cuál sería el mínimo número de pasos que hacen falta dar para obtener esas 105 pilas?

Si no se pudiera, ¿cuál sería la razón que usted invocaría para convencerme de que no fue que usted no pudo, sino que nadie va a poder?

Ahora es su turno.

Respuesta

Como siempre, si no invirtió algún tiempo en pensar razones para contestar que sí o que no, le propongo que no siga leyendo lo que sigue porque en los próximos párrafos aparecerá la respuesta. Acá voy.

Como las tres primeras pilas tienen un número impar de bolitas, la única operación permitida para empezar es la primera. Hay que juntar entonces dos de las tres pilas.

¿De cuántas formas las podemos combinar? Hay tres maneras:

a) Juntar las pilas que tienen 5 y 49. En ese caso, formamos dos nuevas pilas. Una –nueva— de 54 bolitas y la otra que ya existía, de 51.

b) Juntar la de 5 y 51. Ahora tendríamos dos pilas. Una de 56 bolitas y otra de 49.

c) Por último, podemos juntar las pilas de 49 y 51. En esta situación, tendríamos dos pilas: una de 100 bolitas y otra de 5.

Quiero re-escribir las dos pilas en cada caso:

a) 54 y 51

b) 56 y 49

c) 100 y 5

Al llegar a este punto, ¿qué es lo que conjetura usted que va a pasar? ¿Se podrá o no llegar a obtener 105 pilas de una bolita cada una usando nada más que las dos operaciones?

Mi primera apuesta fue sospechar que no se iba a poder, pero era nada más que eso: una sospecha. ¿Cómo convencerme?

Me quedé pensando: como solamente se pueden hacer dos operaciones (sumar dos pilas o dividir una pila que tenga un número ‘par’ de bolitas en dos pilas iguales), ¿qué propiedades podrían heredar las nuevas pilas que vaya obteniendo? ¿Por qué escribo la palabra heredar?  Me explico.

Fíjese que los dos números del caso (a), son múltiplos de 3. Los del caso (b), son múltiplos de 7, y los del caso (c) son múltiplos de 5.

Si uso la primera operación y sumo dos pilas que tengan una cantidad de bolitas que sean múltiplos de 3, la suma también será múltiplo de 3. Y lo mismo sucede con los múltiplos de 5 y de 7. En realidad, sucede algo mucho más general: si uno tiene dos números cualesquiera que son múltiplos de n (cualquiera sea n), entonces la suma también es múltiplo de n [1].

¿Y qué pasa con la segunda operación? En principio, para poder aplicarla, necesito que el número de bolitas de la pila sea un número par. De acuerdo. ¿Será verdad que si divido en dos mitades iguales una pila con un número par de bolitas que además sea múltiplo de 3, las nuevas pilas ‘heredarán’ la propiedad de ser también múltiplos de 3? ¿Y qué pasa con 5 o 7? ¿Pasará lo mismo? ¿Importará que 3, 5 y 7 sean números primos o alcanzará que sean impares?

Seguro que hace falta –por lo menos— que sean impares, porque si yo tomo el número 56, que es múltiplo de 8, al dividirlo por 2, obtengo 28 y claramente 28 ¡no es más múltiplo de 8! O sea, la propiedad de ser múltiplo de 8 no la hereda la mitad. ¿Por qué pasará esto?

Eso pasó porque el número 8 se ‘repartió’ en dos partes iguales de 4 cada una. Es decir,

56 = 28 + 28

Si ahora escribo la ‘misma’ igualdad, pero ‘mirando’ lo que sucede con el 8 como factor:

56 = 7 * 8

56 = 28 + 28 = (7*4) + (7*4)

Es decir, lo que pasa es que el 8 se ‘repartió’: una mitad (cuatro) se fue para contribuir al ‘primer’ 28, y la otra mitad (el otro cuatro) se fue con el ‘segundo’ 28. ¡Por eso no hereda la propiedad!

Para ser más precisos, en algunos casos sí la hereda y en otros, no. Tome por ejemplo al número 32. Si uno tuviera 32 bolitas en una pila, al dividirla en dos pilas de 16 cada una, el número 16 también es múltiplo de 8.

Igualmente me quedé tranquilo: como los números 3, 5 y 7 son impares, no se van a poder ‘partir’ en dos. Al menos, no voy a tener esa particular preocupación.

Pero fíjese qué interesante lo que pasa.Tome un número X cualquiera que sea par y que además sea múltiplo de 3. Este número X lo escribo así:

X = 2 * 3 * A.

El 2 aparece como factor, porque el número X es par, mientras que el 3 aparece como factor, porque el número X es múltiplo de 3. Entonces, si usted divide X por la mitad, obtiene (3*A), que es múltiplo de 3.

O sea, si una pila tiene X bolitas (en donde X es un número par) y quiero usar la segunda operación, puedo descomponerla en dos pilas nuevas, cada una con (3*A) bolitas cada una. Listo. Eso era lo que quería comprobar. Las dos nuevas pilas heredan la propiedad de ser múltiplos de 3. Lo mismo sucede con una pila par que sea también múltiplo de 5 o de 7.

Una vez que llegamos a este punto, creo que usted advierte hacia dónde voy. ¿No quiere seguir por su cuenta?

Ahora tenemos una herramienta poderosa que no conocíamos antes. No importa cuál de las operaciones usemos, si empezamos con pilas que son ambas múltiplos de 3, todas las pilas que vayan apareciendo (por divisiones o sumas), tendrán una cantidad de bolitas que serán múltiplos de 3. Y lo mismo si después del primer paso tenemos pilas con números de bolitas múltiplos de 5 o de 7.

Luego, como el juego pregunta si se puede elaborar una estrategia que permita llegar a tener 105 pilas de una bolita cada una, la respuesta es: ¡no! Y no se puede porque empiece como empiece, el número 1 no es múltiplo de ningún otro número entero positivo más que de él mismo: no es múltiplo ni de 3, ni de 5 ni de 7.

Moraleja: vuelva a poner las bolitas en la bolsa de plástico, tome las instrucciones que había en el papel, ponga todo adentro de la caja... ciérrela... y devolvamos el juego. Era muy fácil y encima se puede jugar una sola vez. Usted ¿cree que hago mal?

[1] Si A y B son múltiplos de n, se pueden escribir así:  A = (n * a)  y  B = (n * b). Si los sumo, tenemos: (A+B) = (n * a) +  (n * b) = [n * (a+b)], que por lo tanto resulta múltiplo de n también.

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