Atletismo para el cerebro

 

El problema que sigue me pareció espectacular. Lo he visto en varios lugares, pero el primero (y a quien me gustaría darle el crédito, a pesar que no sé si fue él quien lo originó) fue el matemático británico Nigel Coldwell.

Cuando uno se sitúa frente al problema por primera vez, tiene ganas de decir: “¿En serio me hacés esa pregunta?”. Vea usted lo que piensa.

Hace unos meses se efectuó una competencia de atletismo con una curiosidad: solamente participaron tres mujeres: Alicia (a la que voy a llamar A), Beatriz (B) y Carmen (C). Ellas (y nada más que ellas) intervinieron en todas las disciplinas y no participó ninguna otra atleta.

Los puntos que se obtenían en cada uno de los tres puestos era la misma cantidad: x por salir primera, y por salir segunda y z por salir tercera. Los tres números (x, y, z) son números naturales (mayores o iguales que 1), y naturalmente se cumple también:

x > y > z

Es decir, como es esperable, la atleta que salía primera en cada prueba obtenía más puntos (x) que la que salía segunda (y); lo mismo sucedía entre la que salía segunda, que conseguía y puntos y la que salía tercera (z puntos).

Una vez finalizadas todas las competencias, estos son los datos que se obtuvieron:

1. A obtuvo 22 puntos en total
2. B ganó los 100 metros llanos y en total obtuvo 9 puntos
3. C también terminó con 9 puntos.

Ahora sí, la pregunta: ¿quién salió segunda en salto en alto?

¿Vio? Parece mentira que uno pueda deducir la respuesta, ¿no le parece?

Bueno, a mí me pareció eso. Quizás a usted no. En cualquier caso, la dejo planteada y usted dirá cuántas ganas tiene de dedicarle un rato para pensar.

Ah, antes de que se pregunte si no faltan datos: créame que no, que no falta ninguno, ni siquiera el número de pruebas en las que compitieron. Nada. Está todo bien así. Ahora le toca a usted.

Solución

Lo notable es que uno pueda encontrar la respuesta sin saber dos pares de datos esenciales:

1. ¿En cuántas competencias participaron?
2. ¿Cuáles son los valores de x, y y z?

Pensemos juntos. Yo no pude encontrar una manera de resolverlo que involucrara escribir algunas igualdades (o ecuaciones) y haciendo operaciones algebraicas, deducir quién salió segunda en la competencia de salto en alto. En todo caso, lo que tuve que hacer fue ‘arremangarme’ y analizar caso por caso. Acompáñeme por acá.

Dato 1

Como A obtuvo 22 puntos, B y C obtuvieron 9, eso significa que en total se repartieron 40 puntos. Como no sabemos en cuántas disciplinas compitieron, voy a llamar N a ese número.

Como en total juntaron 40 puntos, eso significa que:

N * (x + y + z) = 40               (1)

¿Por qué? En cada competencia se repartían (x + y + z) puntos, y por otro lado, para llegar a los 40 puntos necesitamos multiplicar ese número por la cantidad de disciplinas.

Ahora llegó el momento de “arremangarse”.

¿De cuántas formas se puede descomponer el número 40 como producto de números naturales)? 40 se puede obtener así:

40 = 2 * 2 * 2 * 5                   (2)

Fíjese en la igualdad (1). Agrupemos los factores que aparecen en la igualdad (2) de todas las posibles formas.

40 = 2 * 20

40 = 4 * 10

40 = 8 * 5                                            (3)

40 = 5 * 8

40 = 10 * 4

40 = 20 * 2

(En donde, si bien hay varias descomposiciones iguales, estoy suponiendo por un momento que N es el primer factor).

Si el segundo factor de cada igualdad es (x + y + z), esto significa que este número puede tomar estos valores:

20, 10, 5, 8, 4 y 2

(Fíjese en el segundo factor de cada una de las igualdades de (3)).

Por otro lado, los mismos números (2, 4, 5, 8, 10 y 20), son los posibles valores para N .

Piense que como x > y > z, el valor más chico que puede tomar z es z = 1, y por lo tanto, esto obliga a que el valor más chico de y = 2 y el de z = 3. O sea, sumando estos valores, el número mínimo que puede tomar (x+y+z) es 6. Esto permite descartar de inmediato que:

(x+y+z) = 2

(x+y+z) = 4

(x+y+z) = 5.

Estos tres valores son imposibles para (x+y+z). Quedan entonces tres valores posibles: 8, 10 y 20.

Vamos descartando algunos casos.

1. ¿Puede ser (x+y+z) = 20? Esto significa que entre los tres primeros puestos, obtuvieron 20 puntos. ¿De cuántas formas se puede descomponer 20 en tres números positivos en forma estrictamente decreciente? 

20 = 17+ 2+ 1
20 = 16+ 3+ 1
20 = 15+ 4+ 1
20 = 14+ 5+ 1
20 = 13+ 6+ 1
20 = 12+ 7+ 1
20 = 11+ 8+ 1
20 = 10+ 9+ 1
20 = 15+ 3+ 2
20 = 14+ 4+ 2
20 = 13+ 5+ 2
20 = 12+ 6+ 2
20 = 11+ 7+ 2
20 = 10+ 8+ 2
20 = 13+ 4+ 3
20 = 12+ 5+ 3
20 = 11+ 6+ 3
20 = 10+ 7+ 3
20 = 9+ 8+ 3
20 = 11+ 5+ 4
20 = 10+ 6+ 4
20 = 9+ 7+ 4
20 = 9+ 6+ 5
20 = 8+ 7+ 5

Ahora bien: estas son todas las posibles distribuciones de puntajes en los tres primeros puestos, si la suma  de los puntos repartidos fue 20.

Fíjese algo muy curioso. Mire la lista que hay arriba sobre las descomposiciones del número 20. Le recuerdo que B, por un lado ganó una de las competencias (lo que significa que —al menos— ganó 8 puntos) y por otro lado, obtuvo en total 9 puntos. Entonces, es imposible que esa haya sido la distribución, porque si ganó como mínimo 9 puntos (que es la última descomposición que figura en la lista), entonces durante la otra competencia tuvo que haber obtenido 7 ó 5 puntos. Luego, siempre se pasó de 9 puntos.

Moraleja: la distribución de puntos entre los 3 primeros puestos ¡no pudo ser de 20 puntos!

Quedan solamente dos posibilidades:

1. (x+y+z) = 10 y entonces N = 4, o bien
2. (x+y+z) = 8 y por lo tanto, N = 5.

Empecemos por el caso (b) en donde (x+y+z) = 10 y N = 4. Hagamos el mismo análisis de más arriba, cuando la suma de (x+y+z) = 20.

¿De qué maneras podemos descomponer 10?

1. 10 = 7, 2, 1
2. 10 = 6, 3, 1
3. 10 = 5, 4, 1
4. 10 = 5, 3, 2.

Y no hay más. Vayamos –como antes– caso por caso.

a) Si x = 7, como B ganó una competencia, con ese triunfo ya tendría 7 puntos. Como faltan añadir lo que le pasó a B en las otras tres disciplinas, por menos que haya hecho, tuvo que haber sumado 1 punto en cada una y llegaría a 10. Luego, este caso no puede ser.

b) Si x = 6, como B ganó una competencia, puede ser que haya obtenido 1 punto en las otras 3 hasta llegar a 9. Pero en ese caso, ¿cómo hizo A para conseguir 22 puntos? Fíjese que aunque hubiera ganado las otras 3 competencias, sumaría 18 puntos, pero en la disciplina que ganó B no pudo sumar más que 3 puntos (ya que la distribución es 6, 3 y 1 para los primeros tres puestos. Conclusión, esta situación tampoco pudo darse.

c) Vayamos al caso (5,4,1). Si B ganó una competencia sumó 5 puntos, pero si salió segunda/o en otra, ya llegó a los 9 puntos y todavía faltan contar 2 competencias más. Luego, ese caso no fue.

d) Si es el caso (5,3,2), entonces obtuvo 5 puntos la vez que ganó, pero, aunque haya salido tercera/o en las otras 3, obtendría 6 puntos en esas 3 y sumados a los 5 de la que ganó, llegó a 11 puntos. No puede ser.

Listo. Hemos eliminado el caso en que (x+y+z) = 10 y N = 4.

La única posibilidad que queda, es que (x+y+z) = 8 y N = 5. Es decir, la suma de los puntos que se otorgaron en cada disciplina 8 y el total de disciplinas en las que compitieron, fueron 5. Analicemos qué pudo haber pasado en este caso.

Para hacerlo, estudiemos las formas en las que podemos descomponer el número 8 (en suma de tres números positivos, en forma estrictamente decreciente).

1. 8 = 4, 3, 1
2. 8 = 5, 2, 1

¿Por qué no hay más? Si el tercero obtiene 1 punto y ya descartamos los casos en el que el segundo obtiene 2 o 3 puntos, entonces la única alternativa que queda es considerar que el tercero sacó 1 y el segundo sacó 4. Pero entonces, como la suma tiene que dar 8, y ya entre el 2do y el 3ro sumaron 5, ¡el primero sacaría menos puntos que el segundo! Listo.

Por otro lado, si empezáramos suponiendo que el tercero saca 2 puntos, entonces el segundo debería sacar (como mínimo) 3. Entre el segundo y tercer puesto obtendrían 5 puntos, y entonces ya no queda ‘lugar’ para que el primero saque más puntos que el segundo.

Moraleja: los únicos dos casos para analizar son (a) y (b).

a) 8 = 4, 3, 1. ¿Pudo haberse dado esta situación? Como A obtuvo (en total) 22 puntos, aún ganando las 5 competencias llegaría a 20 puntos. Luego, esta situación no pudo haberse dado. Y así llegamos a….

b) 8 = 5, 2, 1 . Ya sabemos que B ganó una competencia. Luego, tiene 5 puntos. ¿Qué tuvo que haber pasado en las otras cuatro disciplinas? B tuvo que haber salido tercera en todas ellas. De esa forma, sumaría los 9 puntos. Acá, me quiero detener un instante. Fíjese que al suponer que B ganó una competencia y salió tercera en las otras cuatro, nos quedan por distribuir los puntos obtenidos en cuatro primeros puestos y cuatro segundos puestos y un solo tercer puesto (¿Me siguió? Verifique los cálculos usted por su cuenta. No me acepte lo que yo escribí sin estar convencida/o). Pensemos juntos entonces. Si C hubiera ganado alguna de las cuatro competencias restantes, ya tendría 5 puntos, pero como obtuvo 9 puntos en total, ¡no hay manera de que los consiga porque todos los terceros puestos —salvo uno— están tomados por B! Luego, C no pudo haber ganado ninguna competencia. La única alternativa es que hubiera salido segunda en cuatro competencias, y haya obtenido el tercer puesto en la disciplina que ganó B. De esa forma, obtiene los 9 puntos que era uno de los datos del problema. Y finalmente los lugares que quedan libres (cuatro primeros puestos y un segundo puesto), le otorgan a A los 22 puntos que consiguió. ¡Esta es la solución del problema!

A ganó cuatro competencias y obtuvo un segundo puesto: total 22 puntos

B ganó una competencia y salió tercera en las otras cuatro: total 9 puntos

C salió segundo en cuatro competencias y tercera en la que ganó B: total 9 puntos.

Pero lo notable es que esto permite contestar la pregunta original: ¡fue Carmen (C) la persona que salió segunda en la competencia en salto en alto!

De esta forma, con una cantidad de información mínima, hemos encontrado la respuesta a una situación que —de entrada— parecía imposible.

Algo más: este tipo de problemas, donde todo lo que uno tiene que hacer es simplemente pensar , invitan a sacar una conclusión: la notable potencia del cerebro para analizar situaciones múltiples y encontrar respuestas a preguntas que parecen inaccesibles. Ojalá que usted lo haya disfrutado al leerlo/resolverlo, tanto como yo al plantearlo (y escribir la solución también).

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