El hotel de Hilbert

 

El que sigue es uno de los problemas clásicos de la matemática. Debe ser uno de los más conocidos y sin embargo, si usted nunca escuchó hablar de él, pondrá a prueba su intuición.

Es que justamente, los conjuntos infinitos tienen siempre un costado atractivo: atentan contra la intuición.

Por supuesto, necesito de su complicidad. Voy a asumir que hay infinitas personas en el mundo, cosa que es falsa, pero a los efectos del problema, usted verá que no será algo que la (o lo) perturbe.

Supongamos entonces que el mundo está poblado por un número infinito de seres humanos. Y supongamos también (en forma arbitraria), que así como hay un número infinito de personas, hay un hotel que tiene infinitas habitaciones.Es decir, hay una ciudad que tiene un hotel que puede albergar un número infinito de personas.

Las habitaciones de este hotel están numeradas, y a cada una, le corresponde un número natural. Es decir, la primera lleva el número 1, la segunda el 2, la tercera el 3, etcétera. Es decir: en la puerta de cada habitación, hay una placa con un número que sirve de identificación.

Ahora voy a suponer que todas las habitaciones están ocupadas y que en cada una de ellas hay un solo pasajero.

En un momento determinado, llega al hotel un señor con cara de muy cansado. Es tarde en la noche y todo lo que este hombre espera es terminar rápido con el papelerío para poder ir a descansar. Cuando el empleado de la recepción le dice que “lamentablemente no tenemos ninguna habitación disponible, ya que todas las habitaciones están ocupadas”, el recién llegado no lo puede creer. Y le pregunta:

–Pero, cómo... ¿No tienen ustedes infinitas habitaciones? Eso es lo que dice el cartel luminoso. Estoy seguro de que eso fue lo que leí cuando estacioné el auto.

–Sí –responde el empleado del hotel.

–Entonces, ¿cómo me dice que no le quedan habitaciones disponibles?

–Y sí, señor. Están todas ocupadas.

–Vea. Lo que me está contestando no tiene sentido. Si usted no puede encontrar la solución al problema, lo ayudo yo.

Y acá es donde le propongo que se detenga en la lectura y piense usted cuál podría ser una potencial respuesta.

¿Puede ser correcta la del conserje, o sea que “no hay más lugar”, si el hotel tiene infinitas habitaciones? ¿Se le ocurre alguna alternativa?

Acá va una:

–Vea –continuó el pasajero–. Llame al señor de la habitación que tiene el número 1 y dígale que pase a la que tiene el 2. A la persona que está en la habitación 2, que vaya a la del 3. A la del 3, que pase a la del 4. Y así, siguiendo. De esta forma, toda persona seguirá teniendo una habitación que no compartirá con nadie (tal como era antes), pero con la diferencia de que ahora quedará una habitación libre: la número 1.

El conserje lo miró incrédulo, pero comprendió lo que le decía el pasajero. Y el problema se solucionó.

Ahora bien, algunos problemas más:

1. Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, ¿qué sucedería? ¿Tiene solución el problema? (Creo que usted está en condiciones de generalizar lo que hicimos en el caso anterior)
2. ¿Y si en lugar de dos, llegaran 100?
3. ¿Cómo se puede resolver el problema si llegan “n” pasajeros inesperadamente durante la noche (donde “n” es un número cualquiera). ¿Siempre tiene solución el problema, independientemente del número de personas que aparezcan buscando una pieza para dormir? ¿Y si llegaran infinitas personas? ¿Qué pasaría en ese caso?

Solución al problema del hotel de Hilbert

1. Si en lugar de una persona llegan dos, lo que el conserje tiene que hacer es pedirle al de la habitación 1 que vaya a la 3, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 5, al de la 4 a la 6, etcétera. Es decir, pedirle a cada uno que se corra dos habitaciones. Eso dejará las dos primeras habitaciones libres que servirán para alojar a los dos pasajeros recién llegados.
2. Si en lugar de dos pasajeros llegan cien, entonces lo que hay que hacer es decirle al señor de la habitación 1 que pase a la 101, al de la 2, a la habitación 102, al de la 3, a la habitación 103, y así siguiendo. La idea es que cada uno se corra exactamente 100 habitaciones. Eso dejará 100 habitaciones libres, que ocuparán los cien nuevos pasajeros que recién arribaron.
3. Con la misma idea que solucionamos las partes 1) y 2), se responde esta. Si los que llegan son n nuevos pasajeros, la solución es correr cada pasajero que ya ocupaba una habitación, n. Es decir: si alguien está en la habitación “x”, pasarlo a la habitación (x + n). Eso dejará n habitaciones libres para los recién llegados. Y para terminar de contestar la pregunta que plantea el ítem 3), la respuesta es sí, sea cual fuere el número de personas que llega, siempre se puede resolver el problema como acabamos de indicar.
4. Por último, si los que llegan son infinitos nuevos pasajeros, ¿qué hacer en este caso?

Una posibilidad es decirle al de la habitación que lleva el número 1 que pase a la 2, al de la 2 que pase a la 4, al de la 3 que pase a la 6, al de la 4 que pase a la 8, al de la 5 que vaya a la 10, etc. Es decir, cada uno pasa a la habitación que está indicada con el doble del número que tiene en ese momento. De esta forma, todos los recién llegados tienen una habitación (las que están marcadas con un número impar) mientras que los pasajeros que ya estaban antes de la invasión de nuevos turistas, ocuparán ahora todas las habitaciones con números pares en la puerta.

¡Y listo!

Moraleja: los conjuntos infinitos tienen propiedades muy peculiares que “atentan contra la intuición”. Esta es sólo una nota sobre el tema. Voy a tratar de escribir más del estilo, especialmente aquella en la que pueda explayarme sobre los “distintos tipos de infinito” y sobre “infinitos más grandes que otros”. ¿Parece mentira, no es así? Digo, ¿no parece imposible que haya infinitos más grandes que otros? Usted… sí, usted… ¿qué piensa?

 

 

 

 

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