Polo Norte

 

Quiero plantear un problema muy interesante. Estoy seguro de que hay mucha gente que escuchó hablar de él y supone (con razón, por cierto) que puede dar una respuesta inmediata. Con todo, aun para ese grupo de personas, les pido que sigan leyendo porque se van a sorprender descubriendo que, además de la solución “clásica”, hay muchas otras que seguramente no “pensaron” antes. Y para quienes leen el problema por primera vez, creo que van a disfrutarlo un rato. Aquí va.

Para empezar, voy a suponer que la Tierra es una esfera perfecta, lo cual –obviamente– no es cierto, pero a los efectos de este problema, pensaremos que sí.

La pregunta, entonces, es la siguiente: “¿Existe algún punto de la Tierra en el cual uno se pueda parar, caminar un kilómetro hacia el sur, otro kilómetro hacia el este y luego un kilómetro hacia el norte y volver al lugar original?”

Si usted nunca escuchó este planteo antes, parece imposible, pero dedicándole un rato, créame que sale.

Por las dudas, como yo voy a escribir la respuesta en el párrafo siguiente, si nunca lo pensó antes, este es el momento de no leer lo que sigue más abajo. Gracias. Vuelva cuando quiera, que hay más.

Para todos aquellos que sí habían escuchado hablar de este problema, la solución les parece inmediata. Basta con colocarse en el Polo Norte, caminar un kilómetro hacia alguna parte (forzosamente eso es hacia el sur), luego caminar un kilómetro hacia el este (lo cual lo hace caminar por un paralelo al Ecuador) y luego, al caminar hacia el norte otra vez, uno recorre un trozo de meridiano y termina nuevamente en el Polo Norte, que es donde había empezado.

Hasta aquí, nada nuevo. Lo que sí me parece novedoso es que esta respuesta, que parece única, en realidad, no lo es. Peor aún: hay infinitas soluciones. ¿Se anima a pensar ahora por qué?

Como siempre, le sugiero que no avance si no pensó solo, porque la gracia de todo esto reside en disfrutar uno de tener un problema. Si la idea se reduce a leer el problema y la solución, en su conjunto, es como ir a ver una película de suspenso pero con las luces encendidas, conociendo al asesino, o viéndola por segunda vez. ¿Qué gracia tiene?

Por eso lo invito a que piense por su lado. Si luego de un tiempo no se le ocurre, entonces sí, vuelva que lo espero en el párrafo siguiente.

Voy a mostrar primero, cómo se pueden encontrar nuevos puntos de la Tierra desde donde empezar.

Pero antes, me quiero poner de acuerdo con usted en algunos nombres.

Si la Tierra es una esfera perfecta, entonces, cada círculo que uno pueda dibujar sobre ella que pase simultáneamente por el Polo Norte y el Polo Sur, se llama círculo máximo. Hay entonces, infinitos círculos máximos. Pero no son los únicos. Es decir, hay otros círculos que se pueden dibujar sobre la superficie de la Tierra, que son máximos, pero que no pasan ni por el Polo Norte ni por el Sur. ¿Se anima a pensarlos?

Como ejemplo, piense en el Ecuador.

Mejor aún: imagine que tiene una pelota de fútbol. Uno podría identificar un Polo Sur y un Polo Norte en la pelota, y dibujar allí círculos máximos.

Pero, al mismo tiempo, uno puede girar la pelota y fabricarse un nuevo Polo Norte y un nuevo Polo Sur y por lo tanto puede graficar otros círculos máximos.

O, de otra forma, uno puede pensar en una pelotita de tenis y en gomitas elásticas. Uno advierte que tiene muchas maneras de enrollar la gomita alrededor de la pelotita. Cada vez que la gomita le da una vuelta entera a la pelota (o a la Tierra), ese recorrido es un círculo máximo. Creo que se entiende. Si no, hágase de tiempo y piense lo que está escrito más arriba, pero con sus propias ideas.

Ahora, hacemos así. Párese en el Polo Sur. A medida que uno empieza a ir hacia el norte, los paralelos (al Ecuador) son cada vez de mayor longitud. Obviamente, el Ecuador mismo es el más largo.

Con todo, como usted está parado ahora en el Polo Sur camine hacia el norte, hasta llegar a un paralelo que mida un kilómetro. Es decir, de manera tal que si usted diera una vuelta a la Tierra caminando por encima de ese paralelo habrá recorrido en total un kilómetro.

Ahora, desde este paralelo, desde cualquier punto de ese paralelo, camine un kilómetro hacia el norte, por un círculo máximo, claro. Pare allí. Ese es el punto que buscamos.

¿Por qué? Comprobémoslo. Si uno empieza allí, hace un kilómetro hacia el sur, cae en algún punto del paralelo que medía un kilómetro al dar toda la vuelta. Por lo tanto, cuando usted tenga que caminar un kilómetro hacia el este, lo que habrá hecho es haber dado una vuelta completa y caer en el mismo lugar. Luego, desde allí, cuando vuelve a caminar hacia el norte un kilómetro, aparece en el lugar de partida.

Lo que demuestra esto es que hay infinitas soluciones al problema original.

Y esto no es todo. Se pueden encontrar muchos más, infinitos puntos más. Para eso, les propongo un camino para que desarrollen ustedes: piensen que en la solución que di recién había que encontrar un paralelo que midiera un kilómetro de longitud. Esto permitía que cuando uno caminaba hacia el este un kilómetro, terminaba dando una vuelta entera y quedaba en el mismo lugar.

Bueno, ¿y qué pasaría si, saliendo del Polo Sur, en lugar de haber encontrado un paralelo que midiera un kilómetro encontramos un paralelo que mida medio kilómetro?

La respuesta es que, haciendo lo mismo que en el caso anterior, al caer en ese paralelo y caminar un kilómetro, uno terminaría dando dos vueltas alrededor de la Tierra y volvería al punto inicial.

Y como ustedes imaginan, este proceso puede seguirse indefinidamente.

Moraleja: un problema que parecía tener una sola solución tiene en realidad infinitas. Y aunque parezca que no, esto es hacer matemática también.

 

 

 

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