Suponga que tiene un tablero de ajedrez común y corriente. Es fácil observar que el tablero tiene 64 casillas, de las cuales 32 son blancas y las otras 32, negras.

Supongamos, además, que tenemos 32 fichas de dominó. Supongamos que cada mitad de estas fichas es exactamente del tamaño de una casilla del tablero, de manera tal que cada ficha de dominó, apoyada sobre ese tablero, taparía dos casillas.

¿Quedó claro que con las 32 fichas de dominó uno puede cubrir el tablero de ajedrez sin que quede ninguna casilla libre? Yo creo que sí, pero lo invito a pensar alguna forma de hacerlo. Si no se le ocurre ninguna (lo cual creo ciertamente poco posible), ponga en forma horizontal cuatro fichas de dominó, hasta cubrir la primera fila. Haga lo mismo con la segunda fila. Y así siguiendo, replique este proceso. Como advierte, el tablero queda totalmente cubierto por las fichas de dominó. Es claro que cada ficha de dominó sirve para cubrir exactamente dos casillas del tablero, independientemente de que uno las ponga en forma vertical u horizontal.

Hasta acá, una pavada.

Supongamos, ahora, que un buen señor viene con una tijera y recorta las dos casillas de las puntas de una de las diagonales. Es decir: el tablero tiene dos diagonales (que serían las diagonales del cuadrado). El señor viene y saca las dos casillas que están en las puntas de una de las diagonales. Cualquiera de las dos.

Ahora el tablero tiene 62 casillas. Esto también tiene que ser claro, porque originalmente había 64 y, como recortó dos, quedan 62 casillas. Como teníamos 32 fichas de dominó, y con ellas cubríamos el tablero de 64 casillas, ahora no necesitamos las 32 fichas porque ya no hay tantas casillas. Eliminamos una de las fichas. Nos quedamos con 31.

La pregunta es: ahora, ¿se puede encontrar alguna manera de cubrir el tablero con esas 31 fichas? (Las reglas son las mismas. Es decir, cada ficha de dominó puede ser utilizada en forma vertical u horizontal.)

Vale la pena pensar el problema, sobre todo porque el desafío es el siguiente: si se puede, muestre al menos una manera de hacerlo.

En cambio, si usted cree que no se puede, entonces deberá encontrar alguna razón que demuestre que no hay ninguna forma de hacerlo. Es decir, encontrar algún argumento que sirva siempre.

 

Solución

La respuesta es que no se puede. No importa lo que uno haga, no importa el tiempo que invierta, ni la paciencia que tenga, ni la destreza que ponga. No alcanzará nunca. Ahora bien: ¿por qué?

Acompáñeme a pensar un argumento que lo demuestre. Como ahora quedaron 62 casillas en el tablero, si usted se fija, al haber sacado las dos de las puntas de una diagonal, eso significa que o bien hay dos casillas negras menos, o bien hay dos casillas blancas menos.

Luego, el tablero. Si bien tiene 62 casillas, ahora ya no están repartidas de la misma manera como el tablero original, que tiene el mismo número de blancas que de negras. Ahora no. O hay 32 negras y 30 blancas, o al revés: 32 blancas y 30 negras. En todo caso, el número de blancas y negras ya no es más igual. Y esta es la clave en el argumento que sigue.

Cualquier intento que uno haga con las fichas de dominó, al apoyar una en el tablero, sea en forma vertical u horizontal, esa ficha siempre cubre una casilla blanca y otra negra. Luego, si hubiera alguna manera de distribuir las 31 fichas de dominó, éstas estarían cubriendo 31 casillas blancas y 31 negras. Y sabemos que esto es imposible, porque no hay la misma cantidad de negras y blancas.

Más allá de la solución del problema, lo que pretendo con este ejemplo es invitarlos a reflexionar que, si uno intenta por la fuerza bruta, si trata de forzar a mano la distribución de las fichas, no sólo tropezará con la dificultad de que no va a poder, sino que además intentando con casos particulares, y fallando, ¡no demuestra nada! Porque podría venir otra persona y lograr lo que usted no pudo.

En cambio, el argumento que utilicé más arriba, es contundente. ¡No se puede! Y nadie va a poder, porque las 31 fichas de dominó deben cubrir la misma cantidad de blancas que de negras (31 en cada caso) y el nuevo tablero no las tiene.

Pensar, ayuda, obviamente. Pero si a usted no se le ocurrió, no pasa nada. No es ni mejor ni peor persona. Ni más capaz ni menos. Sólo que todo esto sirve para entrenarnos a pensar. Una pavada, ciertamente.

 

 

 

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