Mezclando Cartas 

 

A esta altura de mi vida, superados los 70 años largamente, me cuesta trabajo encontrar alguna persona que no haya jugado a algún juego de cartas alguna vez en su vida. No sé: puede que no hayan participado de ningún otro tipo de juego, pero… ¿a las cartas? Creo que todos jugaron al menos una vez, aunque sea para poder decir (en forma racional) que no les gusta.

Por supuesto, más allá del extremo de aquellos que no juegan, están los del otro lado: los que juegan mucho, o juegan siempre, y no necesariamente lo hacen por el placer competitivo de ganar, sino porque hay dinero involucrado. Depende de cuán desarrollado tenga usted este tipo de gen —el gen de la competencia—, le importará más si vive un juego de cartas como algo que la/lo conmueve y le importa, o es solamente un pasatiempo. En todo caso, yo no creo ser una persona competitiva: no me interesa ganar; dependiendo de las circunstancias, si veo que a otra/otro ‘ganar’ la/lo pone tan feliz, prefiero verla/o en ese estadio: a mí no me produce lo mismo. Pero este artículo no se trata de hacer un análisis de mi particular reacción frente a un juego, sino de describir algo que ya lleva más de 30 años dentro del mundo de la matemática y que quiero compartir con usted.

El problema es muy sencillo: en un juego de cartas cualquiera, cada tanto, hace falta mezclar el mazo. Es una manera de ‘garantizar’ tanto como sea posible, que la distribución de las cartas es aleatoria, o sea, que el orden de las cartas no debe(ría) ser predecible. Por lo tanto, es natural ver que después de cada ‘mano’, por ejemplo, alguno de los participantes mezcla. Tan preocupados estamos por esto, que hay otro que corta el mazo, de manera —supuestamente— de evitar posibles ventajas. Pero la pregunta es: ¿cuántas veces hace falta mezclar un mazo para ‘garantizar’ que la mezcla ha sido efectiva?[1]

Está claro que mezclar una o dos veces no son suficientes, pero la intuición indica que no hacen falta veinte tampoco. De acuerdo, pero… ¿hay algún número preciso de mezclas, de manera tal que si mezclo menos veces todavía no alcanzan, pero que si llego a ese número … ¿entonces sí?

Tres matemáticos norteamericanos, Persi Diaconis, David Bayer y David Aldous [2], publicaron la respuesta en distintos artículos [3] entre 1986 y 1992: ¡hace falta mezclar siete veces! El más famoso de los tres es indudablemente Diaconis, no solo por su calidad de matemático (Bayer y Aldous lo son también), sino porque Persi Diaconis es además… ¡mago! Y no es un mago ‘menor’, sino un mago con prestigio. De hecho, Diaconis se ganó la vida como mago durante una década, antes de convertirse en un matemático profesional, y como usted bien sabe, los magos, son especialistas —entre otras cosas— en juegos de cartas. Diaconis sabía qué tipo de problema estaba tratando de resolver. Su carrera como matemático la hizo en Harvard, y allí fue donde obtuvo su título de doctor.

Es muy posible que salvo que usted tenga un interés particular en la matemática, consultar los artículos originales le parezca una tarea imposible. Sin embargo, me permito proponerle que al menos intente seguir los argumentos expuestos en el “Example 1” (Ejemplo 1) del trabajo de Aldous y Diaconis. Es muy interesante y ofrece una forma de entender el modelo que usaron para demostrar que con siete veces es suficiente.

De todas formas, si bien utilizaron computadoras para testear lo que intuían, la mayor parte del trabajo es teórico y con matemática sofisticada, pero en algunas partes es verdaderamente accesible.

Diaconis dijo en una entrevista de hace 30 años: “El procedimiento habitual al mezclar cartas que deberían ofrecer un orden al azar, está muy lejos de proveerlo. La mayor parte de la gente mezcla cartas tres o cuatro veces. Cinco ya se considera excesivo”. Justamente, el hecho que las cartas no estén bien mezcladas es utilizado por jugadores profesionales que incrementan sus chances de ganar, especialmente en los casinos. “Hay gente que concurre a diferentes salas de juego y hace fortunas con esta ‘pequeña’ ventaja. Yo mismo conozco gente que hoy (1990) lo están haciendo”.

En Las Vegas, los croupiers mezclan las cartas entre cuatro y siete veces, número elegido en forma discrecional por el dueño del casino. Diaconis respondió: “Yo voy y fui a Las Vegas innumerables veces. Fue motivo de estudio durante mucho tiempo: nunca vi que en un casino nadie mezcle las cartas siete veces”. Además, los trabajos de Aldous, Bayer y Diaconis demuestran que siete veces son suficientes para un mazo de cartas, pero si uno mezcla dos mazos, necesita nueve veces, y en el caso de seis mazos (algo habitual en Atlantic City o en Monte Carlo o Las Vegas mismo), hay que mezclar los mazos... ¡12 veces!

Diaconis sostiene que siete veces son necesarias, y que si uno continúa mezclando, no agrega nada, no hace más azarosa la distribución de las cartas; es como si la mezcla se hubiera saturado.

Claro, usted se debe estar preguntando: “¿Qué quiere decir que el mazo está completamente mezclado después de siete veces?”  La respuesta de Diaconis: “Esto sucede cuando el orden en el que han quedado distribuida las cartas es tan probable como cualquier otro, o si usted prefiere, cuando es igualmente probable que una carta cualquiera ocupe cualquier lugar del mazo”.

Cuando uno entrelaza las cartas y las va reordenando de esta manera, uno sospecha que esta es la mejor manera de mezclar, ¿no es así? Sin embargo, ese tipo de mezclas perfectas son inefectivas. El propio Diaconis, mago que es (y sigue siendo), tomó un mazo y mostró empíricamente que aún mezclando de esta forma, las cartas nunca quedan ordenadas aleatoriamente. No solo eso: Diaconis publicó otro trabajo, mostrando en forma rigurosa que si uno mezclara las cartas entrelazando las que tiene en la mano derecha con las que tiene en la mano izquierda, ¡después de mezclarlas ocho veces, las cartas vuelven a su posición inicial!

Hay un video [4] en YouTube donde se ve a Persi Diaconis (su apellido es de origen griego, si es que se lo estuvo preguntando) explicando qué quiere decir que las cartas estén bien mezcladas.

No quiero obviar un tema que se me ocurre que usted podría estar pensando: ¿No tienen los matemáticos nada más interesante para estudiar que calcular el número de veces que hace falta mezclar un mazo de cartas?

La respuesta varía. En principio, uno tiene la tentación de decir:

“Sí, tiene razón; perdón, estaba jugando”.

Pero por otro lado, yo podría contestar que si hay algo que ‘el hombre’ ha hecho a lo largo de los años es jugar. Los juegos han ido cambiando con el tiempo, pero el afán por jugar, no, permanece inalterable. Más aún: ¡celebremos que esto sigue sucediendo!

Quiero usar nada más que un ejemplo: fueron los juegos los que dieron origen, nada menos que a la teoría de probabilidades y estadística. ¿Se imagina si uno no supiera o no pudiera calcular probabilidades de nada en la vida cotidiana? Y son juegos los inspiradores de múltiples ideas que son utilizadas hoy en la —supuesta— vida real, y escribo supuesta porque “vida real” es todo, ¿no es así?

Los resultados de Diaconis, Bayer y Aldous han sido de una utilidad tremenda en diferentes áreas de la matemática, como Algebras de Lie, Homologías de Hochschild o los que se llaman Random Walks, o caminos aleatorios o al azar.

Para el final me reservé una breve historia: Persi Diaconis dejó la casa de sus padres cuando tenía 14 años con un libro que había escrito el famosísimo mago canadiense Dai Vernon. Diez años después, necesitaba de una carta de recomendación para que lo admitieran en Harvard. La escribió una de las personas más prestigiosas del mundo, Martin Gardner. El texto decía en una parte: “Este chico inventó dos de los diez mejores trucos de cartas que se conocieron en la última década. Nada más que por eso, les sugiero que le den una oportunidad”. Se la dieron y hoy, después de haberse conseguido un doctorado allí con las máximas calificaciones posibles, Diaconis es profesor itinerante, aunque su base está en la Universidad de Stanford. Ahora, en el año 2020, Diaconis ya tiene 75 años, pero su activa producción desmiente su edad. En cualquier lugar que brinde una conferencia, hay que ser mago para conseguir un asiento. Y lo digo no porque me lo hubieran contado, sino por mi experiencia personal.

 

 

 

 

[1] Acá uno podría plantearse: ¿qué quiere decir efectiva? Si bien es un terreno resbaladizo, digamos que efectiva significaría que esté lo más cercano posible a ser al azar.

[2] David Aldous era en ese momento profesor en el Departamento de Estadística de la Universidad de California en Berkeley, California (EE.UU.) mientras que Diaconis y Bayer eran profesores también en el Departamento de Estadística pero en la Universidad de Stanford, en Stanford, California (EE.UU.)

[3] Los artículos se puede encontrar acá: https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/aldous86.pdf y también acá: https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/bayer92.pdf

[4] El video en donde se ve al propio Persi Diaconis hablando del número de veces que es necesario mezclar las cartas está acá:  https://www.youtube.com/watch?v=AxJubaijQbI. Fue publicado el 23 de marzo del año 2015, y la última vez que fui hasta el enlace para poder copiar acá los datos necesarios, ya había más de 1.678.000 visitas, un número ciertamente muy respetable.

 

 

 

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