Rueda pinchada

 

La siguiente es una historia que involucra una dosis de ternura. Supongo que todos (usted que está leyendo y yo que estoy escribiendo), tuvimos la oportunidad de ir al colegio/escuela. Por lo tanto hemos sufrido tener que rendir un examen o ‘dar una prueba’.

El sistema de evaluación que se usa desde más de un siglo es un tópico que debería ser revisado. De hecho ya está sucediendo. Así como está implementado, creo que está claro que no sirve para medir lo que se supone que los docentes quieren/queremos. Pero claro, esa es otra historia para otro momento.

En lo que quiero hacer hincapié es en el hecho propiamente dicho de que un alumno tiene que someterse a una suerte de interrogatorio involuntario y múltiples veces cae en la tentación de mentir o engañar al docente, y aunque sea parte del debate que proponía más arriba, sigo pensando que es una reacción natural. Pero quiero ir por otro lado.

Un profesor en la facultad estaba por tomar un examen un sábado por la mañana. Los alumnos estaban citados a las 8 para comenzar la prueba. Dos de ellos no llegaron a tiempo. La noche anterior habían tenido una fiesta y arribaron a sus respectivas casas pasadas las cuatro de la mañana. Se quedaron dormidos. Como uno de ellos solía pasar a buscar al otro por la casa, el problema de uno se transformó en el problema de los dos. De todas formas, cuando el examen estaba por terminar, alrededor del mediodía, ambos llegaron apurados, consternados y desconsolados.

Pidieron hablar con el profesor mientras los otros alumnos estaban todavía escribiendo el examen. El docente los recibió en su oficina.

“Queríamos hablar con usted para ver si podíamos rendir el examen ahora”, dijo uno de ellos.

“¿Qué les pasó?”, preguntó el docente.

“Es que pinchamos una goma y por eso no pudimos llegar a tiempo”, contestó el otro.

“De acuerdo”, siguió el profesor. “Espérenme un instante que voy a adaptar el examen. Mientras tanto, vos (apuntando a uno de ellos) sentate en la primera fila y vos (apuntando al otro), sentate en la última”.

Cuando los alumnos se retiraron, el profesor hizo algunos cambios en el texto del examen. En una parte de la hoja escribió uno de los problemas que tenía previsto para todos los estudiantes y le puso un valor de cincuenta puntos sobre un máximo de cien para quienes resolvieran la prueba completa.

Del otro lado, en la parte de atrás de la hoja, les pidió que escribieran cuál de las cuatro ruedas del auto se había pinchado. Contestar correctamente esta pregunta valdría también cincuenta puntos (sobre los cien).

Ahora le pregunto yo:

¿Cuál es la probabilidad de que ambos alumnos eligieran la misma rueda?

Como se ve, es un problema bien sencillo de entender (al menos, eso espero). ¿Tiene ganas de pensar?

Me apuro a escribir algo: la respuesta no es 1/16.

 

Respuesta

Si efectivamente se había pinchado una rueda, es de suponer que los dos estudiantes podrían contestar la pregunta correctamente. Es de suponer que durante el transcurso de la mañana no se habrían olvidado cuál de las cuatro ruedas tuvieron que cambiar.

Sin embargo, si tenían que inventar o elegir alguna de las cuatro, entonces sí tiene sentido preguntarse cuál es la probabilidad de que los dos elijan la misma.

¿Cómo calcular esta probabilidad? Para poder calcularla harán falta dos datos:

1. ¿Cuántos casos posibles hay?Es decir, habrá que contar de cuántas formas posibles se pueden presentar las respuestas.
2. ¿Cuántos casos favorables hay?Está claro que voy a llamar favorables a los casos en los que los dos estudiantes eligieron la misma rueda.

Veamos.

Para empezar, quiero identificar las cuatro ruedas. Las voy a llamar así:

DD, a la rueda delantera derecha.

DI, a la rueda delantera izquierda.

TD, a la rueda trasera derecha, y

TI, a la rueda trasera izquierda.

Cada alumno está en un lugar separado del otro. Por lo tanto, no puede ver lo que su compañero escribe. Cuando el profesor reciba los exámenes, se fijará en la parte de atrás de cada hoja para ver qué fue lo que escribió cada uno; supongamos que el que está sentado en la primera fila escribió DD, y el que está sentado en la última escribió TI.

En ese caso, le propongo que consideremos esa respuesta escribiendo así:

(DD,TI)

Es decir, en la primera parte de lo que figura entre paréntesis está la elección de uno de los dos, mientras que después de la coma, en la segunda parte de lo que figura entre paréntesis, está lo que escribió el segundo alumno.

¿No quiere seguir usted? Digo, ¿no tiene ganas de escribir todas las posibles respuestas que pudo haber recibido el profesor?

Mientras tanto, yo escribo todos los posibles pares acá abajo:

(DD,DD) – (DD, DI) – (DD,TD) – (DD,TI)

(DI,DD) — (DI, DI) — (DI, TD) — (DI , TI)

(TD,DD) — (TD, DI) — (TD, TD) — (TD, TI)

(TI, DD) —  (TI, DI) — (TI,TD) — (TI, TI)

 

Tabla 1

Le propongo que relea los 16 pares que acabo de escribir. Contemplan todas las posibles combinaciones de lo que pudieron haber dicho los dos alumnos. Cada uno de ellos pudo haber elegido cualquiera de las cuatro ruedas y, para cada una de esas elecciones del primero, el segundo pudo haber elegido cualquiera de las cuatro ruedas también. Es por eso que no sorprende (espero) que el total de los casos posibles sea 16.

Ya tenemos una parte del problema resuelta: ya sabemos cuáles son todos los casos posibles.

Nos falta contar ahora cuáles son todos los casos favorables. En este contexto, ¿qué quiere decir caso favorable?

Acá es donde el problema se torna un poco más interesante. Veamos si usted está de acuerdo conmigo. Para que sea considerado favorable es necesario que los dos alumnos hayan elegido la misma rueda. Vaya hasta los 16 pares que aparecen en la Tabla 1. Entre todos los pares, ¿cuántos hay en donde los dos eligieron la misma rueda? Cuéntelos usted.

¿Qué encontró? Que hay exactamente cuatro en donde la elección de cada alumno fue la misma: (DD,DD), (DI,DI), (TD,TD) y (TI,TI).

Es decir, entre los 16 pares posibles hay exactamente cuatro que son favorables. ¿Por qué? Porque en estos cuatro los dos alumnos eligieron la misma rueda.

Luego, como hay que dividir los favorables sobre los posibles, se obtiene 4/16 = ¼.

Y esa es la respuesta: hay un 25 por ciento de posibilidades de que ambos hayan elegido la misma rueda.

Espero que hayan tenido suerte, y si no, es de suponer que el docente —que en algún momento de su vida fue alumno también— haya comprendido y se diera cuenta que, a pesar de técnicamente tener la razón, en algún lugar también hay un abuso de poder. Ya sé, ya sé… pero escribí más arriba que este tema (el de los exámenes) merece ser analizado por separado.

Ya llegará ese momento.

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