¿Estamos mejor o peor?
Idas y vueltas en materia de matemática recreativa
¿Cómo definir lo que es matemática recreativa? ¿Qué es lo que la transforma en recreativa? ¿Tiene que ser entretenida? Seguro. ¿Requiere de muchos conocimientos previos? Yo creo que no, que la idea es que uno pueda abordarlos sin necesidad de tener una gran infraestructura teórica sino que esté —virtualmente— al alcance de cualquier persona que tenga ganas de pensar. ¿Tiene que ser fácil? No, no necesariamente. Los problemas en sí mismos deberían ser ‘sencillos’ de entender, pero eso no garantiza que vayan a ser fáciles de resolver. Si se transforman en muy difíciles, entonces se corren para el otro lado, se cruzan de orilla.
Por ejemplo, el Problema de los Cuatro Colores [1] es fácil de entender y muy difícil de resolver. De hecho, la única demostración que se conoce hasta hoy [2] requiere la utilización de computadoras y, por ahora, no hay una prueba teórica que deje satisfechos a los matemáticos ‘puros’ [3].
El "Último Teorema de Fermat" [4] fue una conjetura durante siglos. Llevó casi cuatrocientos años poder resolverla, hasta que lo logró el matemático británico Andrew Wiles. Fermat escribió que él sabía cómo se contestaba la pregunta que él mismo había formulado, pero que no le alcanzaba el ‘margen’ de la hoja para hacerlo. Se murió antes de poder aportar su ‘famosa prueba’. Muchas de las herramientas y conexiones que terminaron usando Wiles (y otros matemáticos que lo asistieron) no existían no solo durante la época de Fermat sino incluso en la del propio Wiles. Fue él mismo quien las tuvo que ‘inventar’ o ‘crear’. El grado de dificultad que conllevan hace sospechar que Fermat no lo hubiera podido demostrar, aunque le hubieran dado múltiples márgenes para escribir. Pero eso ya nunca lo vamos a saber.
De todas formas, tanto el Problema de los Cuatro Colores como el último Teorema de Fermat tuvieron un final ‘feliz’. Hay muchísimos otros que todavía se resisten. Uno de los más famosos es el que lleva el nombre de "El Problema del Viajante de Comercio” [5], cuyo enunciado es fácilmente comprensible pero hasta hoy, enero del 2018, no se conoce una forma de resolverlo a la que se pueda llegar en tiempo ‘real’.
Elegí tres ejemplos muy distintos pero que tienen algo en común. Como son de enunciado sencillo y fáciles de entender, la tentación es imaginarlos formando parte de la “matemática recreativa”. Sin embargo, lo único ‘recreativo’ es pensarlos, porque ciertamente pertenecen a la otra categoría: la de la ‘matemática seria’.
Por otro lado, quienes hacen ‘matemática recreativa’ suelen tener una intención que no sé si llamar subliminal o sutil o intangible. Es la que trata de seducir al interlocutor. Es mucho más fácil convocar a alguien a pensar un problema como el de los Cuatro Colores o el del Viajante de Comercio, que uno que involucre a la Teoría de Autovalores o de Geometría Algebraica, solo por poner un par de ejemplos.
O sea: en alguna parte hay una combinación entre entretenimiento y pedagogía, y también ‘seducción’. Usted elija los porcentajes de cada una que prefiera usar y supongo que también dependerá de la situación y de quien es su interlocutora (o interlocutor).
La matemática recreativa es tan antigua como la matemática misma. En el Museo Británico, ubicado en el centro de Londres, están exhibidos lo que se conocen como los Papiros Matemáticos de Rhind [6]. Corresponden al año 1650 antes de Cristo y los compró en Egipto el propio Henry Rhind. La transacción sucedió en el año 1858. Más adelante sus herederos los donaron al museo donde permanecen. Si usted tuvo o tiene oportunidad de visitarlo, podrá ver la enorme cantidad de problemas que allí se exponen. Son universalmente reconocidos como los primeros registros que dan cuenta de lo que sucedía en términos matemáticos más de 15 siglos antes de la aparición del cristianismo.
Por ejemplo, el problema número 79 incluye una pregunta que involucra siete casas. Cada casa tiene siete gatos. Cada gato se come a siete ratones. A su vez, cada ratón se come siete platos de semillas y de cada uno de esos platos de semillas se pueden esperar siete plantas de choclo [7].
Si uno quiere averiguar la cantidad de animales (ratones, gatos) y ‘objetos’ (casas, platos de semillas, plantas de choclo) que aparecen involucrados en la historia, hace la siguiente cuenta:
7+49+343+2401+16807 = 19.607
Que corresponde a hacer la suma de una progresión geométrica de razón 7:
7 + 72 + 73 + 74 + 75 = [(1-76)/(1-7)] - 1 = 19.607 .
Este número, 19.607, es la cantidad de plantas de choclo que se podrían obtener si uno sumara las que hay en todas las casas.
Un problema equivalente al sumar las potencias de 7 aparece también con Fibonacci en 1202. Quienes analizan la historia de la matemática tienen la tentación de ignorar el bache temporal e imaginar que estos problemas tienen su origen en los que aparecen en los Papiros de Rhind. Pero, en cualquier caso, lo que queda muy claro es que este particular problema no tiene ninguna conexión con todo el resto del texto, por lo que se supone que fueron incluidos como diversión o entretenimiento.
Los trabajos más antiguos que se conocen de Babilonia también datan del año 1800 antes de Cristo. En uno de ellos se puede leer este problema (y lo que sigue es una traducción textual): "Yo sé que si sumo el largo y el ancho de un rectángulo obtengo el número 27, mientras que si sumo el área más la diferencia entre el largo y el ancho obtengo el número 183. Encuentre las medidas de los lados del rectángulo" [8].
Puesto en estos términos, uno tiene ganas de ir ‘y matar [9] a los babilonios’ que escribieron ese enunciado, como haría con cualquier persona que presente hoy este problema, como si se estuviera reproduciendo ‘algo’ que sucede en la vida real. ¿Quién, en su sano juicio, quiere hacerle creer a un alumno que uno tiene este tipo de problema en la vida cotidiana? Con problemas de este tipo, ¿cómo no van a ‘odiar’ la matemática?
En realidad, la respuesta que uno tendría que dar es la siguiente: "Si usted fue tan capaz de saber que al sumar el largo y el ancho le dio 27, entonces mida bien cada lado y obtendrá el resultado que busca".
Pero volviendo a los babilonios, supongo que la idea era mostrar de forma que ellos creerían ingeniosa, cómo resolver un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas y creer que en el camino lograron presentarlo de una forma que sea más entretenido para el estudiante.
Por otro lado, como escribí más arriba, es muy difícil encontrar el límite entre una matemática (la recreativa) y la otra matemática (la seria). Los bordes que separan una de otra son difusos y muchísima matemática ‘seria’ tiene su origen en la recreativa.
Sin pretender un análisis exhaustivo, quiero incluir a la matemática que se necesita para elaborar estrategias, que fue la que terminó dando el puntapié inicial a la Teoría de Juegos. Por otro lado, están también todos los problemas populares que dieron lugar a la Teoría de Grafos. Sin ir más lejos, esta teoría era considerada originalmente como parte de la matemática recreativa, pero hoy aparece como una rama importante de la matemática seria y una fuente de inspiración para la Topología.
Sin ninguna duda, uno de los momentos de quiebre en la historia de la matemática se produce con las discusiones entre dos franceses (Pascal y Fermat) a mediados del siglo XVII, allí por el año 1650. Decir que ambos eran matemáticos es ciertamente injusto, pero no porque no lo fueran, sino porque en aquella época eran poseedores de muchos saberes y se los consideraba entre los ‘sabios’ de la época.
Pero la historia hace justicia con ellos al elegirlos como los ‘creadores’ (o ‘iniciadores’) de lo que hoy se conoce como la Teoría de Probabilidades y Estadística. Los primeros ladrillos de la teoría aparecen en el intercambio epistolar entre ambos tratando de resolver este problema:
"¿Qué es más probable que suceda?
- a) ¿Que uno saque un seis al tirar un dado cuatro veces o
- b) Que saque un doble seis tirando dos dados 24 veces?”
La matemática que se requiere para elaborar estrategias es algo mucho más reciente. Aparece en la literatura a principios del siglo XX. El desarrollo más importante sucede durante la Segunda Guerra Mundial, sobre todo con la irrupción en el centro de la escena de dos colosos del área: John Von Neumann y John Nash. Sus trabajos son los que comienzan a dar una estructura teórica a la que hoy se llama Teoría de Juegos.
Antes de avanzar, un dato que a mi me resultó impactante. Cuando apareció el Rubik Cube o Cubo de Rubik o Cubo Mágico, se vendieron... y lea bien porque no hay error... ¡200 millones de cubos en tres años! Sí, doscientos millones de unidades en menos de tres años. ¡Tan aburrida no debe ser la matemática! Claro, tengo que hacer una observación importante: la mayoría de la gente no relaciona intentar resolver el cubo mágico con hacer matemática, y eso, ciertamente, es nuestro problema: no saber (o no haber sabido) explicar lo que realmente es la matemática. La percepción que hay hoy es ciertamente equivocada... aunque creo que está cambiando. Lentamente, pero está cambiando.
Si la búsqueda de belleza, elegancia y economía es lo que le resulta más convocante, los matemáticos tenemos un libro muy especial. Se llama The Proof from ‘The Book’ [10]. Esta compilación está hecha en memoria del famoso matemático húngaro Paul Erdos y allí solamente tienen lugar las demostraciones más preciosas y contundentes por lo concisas y breves.
Y para terminar con esta suerte de racconto, el gusto personal. Esto es esencialmente intransferible: lo que me gusta a mí puede que no a usted, y viceversa. Mi idea es tratar de ofrecer algunas llaves para que usted pueda entrar en este edificio maravilloso que ha construido el hombre a lo largo de los siglos. Con herramientas muy elementales, si las miramos desde el presente, fueron lo suficientemente poderosas para construir pirámides.
Pero justamente hoy, cuando ponemos personas en la luna (como los que somos pasajeros de este Cohete), viajamos alrededor del mundo en cuestión de horas, tenemos audífonos y anteojos para mejorar la audición y la visión, los saltos descomunales que produjo la odontología, las resonancias magnéticas y tomografías computadas, la robótica y la nanotecnología, las anestesias (¿se imagina lo que habrán sido las intervenciones quirúrgicas ‘sin anestesia’?), ahora hacemos plomería en el corazón, diálisis, reemplazamos órganos, tenemos penicilina que nos resuelve lo que antes nos mataba, construimos puentes y túneles de varios kilómetros, rascacielos que superan los 150 pisos, construimos nuevos materiales con propiedades impensadas hace un siglo, conseguimos energías que ya no dependen solamente del agua, del aire o del viento, comemos mejor, nos vestimos mejor, nos comunicamos mejor, vivimos mejor...
Es por todo esto que siempre me he resistido a aceptar esa suerte de frase hecha: "Todo tiempo pasado fue mejor".
No lo creo. El problema no reside allí: en comparación el pasado fue, en promedio, siempre peor que el presente, y ni que hablar del futuro. Pero lo inaceptable es que este presente sea bueno para unos pocos y no lo sea para todos... aún. Privilegiados como yo, mirando desde el lugar donde estoy, podemos afirmar con certeza que este presente es mejor. La deuda está en otro lado, en el lugar en donde no hemos podido lograr aún que la distribución sea equitativa, igualitaria e inclusiva.
Dicho de otra forma: si todos estuvieran en el lugar que estoy yo, no tendríamos ninguna duda en mirar el pasado con respeto y valoración de todas las escalas intermedias, pero entendiendo que nunca antes estuvimos mejor que ahora.
Recreativa o no, la matemática ha tenido una contribución que podría calificar como esencial, descomunal o imprescindible. Es muy difícil imaginar este presente sin el aporte que proveyeron los ‘gigantes’ que nos precedieron, pero es decididamente imposible proponer cualquier futuro que no tenga a la reina de las ciencias en el centro de la escena.
Es por eso que me atrevo a afirmar que estamos muchísimo mejor... sin ninguna duda.
[1] Sobre este problema escribí en Matemática... ¿estás ahí?, Vol 1., pag 173, Editorial Siglo XXI. Si no, puede encontrar los datos acá:http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-75396-2006-10-31.html
[2] Fue presentada el 21 de junio de 1976 por dos profesores de la Universidad de Illinois, en Champaign (IL): Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Fue la primera vez en la historia que el ‘mundo matemático’ tuvo que aceptar una demostración que involucrara el uso de computadoras. Si bien el Problema de los Cuatro Colores pasó de ser una conjetura o reconocerse como teorema, sigue habiendo mucha gente que no quiere aceptar la demostración de Appel y Haken. En estos 42 años hubo mejoras, pero siempre usando la potencia de la computación. La prueba que los matemáticos ‘puros’ quisieran encontrar, por ahora, sigue sin aparecer.
[3] Como siempre me dice Carlos D’Andrea, “los matemáticos no estamos acostumbrados aún a las pruebas que se obtienen usando computadoras, y hasta que no consigamos ‘incorporarlas’ como parte de nuestro sistema de validación, seguiremos intentando ir por donde nos sentimos más seguros”.
[4] La historia sobre este problema está en el quinto volúmen de Matemática... ¿estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias, Vol 5., Pag 75, Editorial Siglo XXI. Si no, en este artículo del diario Página 12: http://www.pagina12.com.ar/diario/suplementos/espectaculos/2-14202-2009-06-14.html
[5] Sobre el problema llamado "El Viajante de Comercio", escribí en Matemática... ¿estás ahí?, (Vol. 2), Pag. 152, Editorial Siglo XXI. Si no, también apareció en este artículo del diario Página 12: http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-67031-2006-05-18.html
[6] http://mathworld.wolfram.com/RhindPapyrus.html
[7] The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text, es un libro escrito por Gay Robins y Charles Shute y publicado en 1990 que presenta el texto completo. Allí aparece, en el lugar 79, el problema que involucra las casas, gatos, etc.
[8] Si le interesa verificar los datos, el resultado es que el ancho es 13 y el largo 14. Es la única forma que con números enteros se verifican los datos pedidos en el problema
[9] En forma ‘figurativa’, claro está.
[10] Proofs from 'The Book' (Demostraciones de 'El Libro'), un libro editado por Martin Aigner y Gunter M Ziegler y publicado por la Editorial Springer, en donde solamente se aceptan demostraciones que reúnan belleza, elegancia y economía de palabras. Fue compilado en homenaje a Paul Erdos, el matemático húngaro, uno de los más prolíficos de la historia, quien hacía un culto de ese tipo de pruebas.
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