Censar a Francia en 1783
Aprender a calcular a ojo —estimar— también puede ser un arte
Primero quiero empezar haciendo referencia a un artículo que escribí hace casi 15 años: “¿Cómo estimar el número de peces en una laguna?” [1]
Uno de los mayores déficits que tienen nuestros sistemas educativos, cuando se habla de matemática al menos, es que no se nos enseña a estimar. Sí. A estimar.
Eso sirve, en principio, para aprender a desarrollar el sentido común. ¿Cuántas manzanas tiene una ciudad? ¿Cuántas hojas puede tener un árbol? ¿Cuántos días vive en promedio una persona? ¿Cuántos ladrillos hacen falta para construir un edificio? ¿Cuántas manzanas tiene una ciudad?
Quiero empezar con un problema que es muy específico pero usted verá, si sigue leyendo, que tiene (y tuvo) aplicaciones totalmente inesperadas. Acompáñeme por acá. Suponga que usted está cerca de una laguna. En general, uno suele ver gente pescando en una laguna y una pregunta razonable sería tratar de estimar el número de peces que viven allí. ¿Cómo hacer? ¿Cómo elaborar una estrategia para hacerlo?
Una vez más, me apuro a escribir que estimar no es contar. Se trata de poder adquirir una idea de lo que hay. Por ejemplo, uno podría conjeturar que en la laguna hay mil peces o que hay millones de peces. Obviamente, no es lo mismo. Pero, ¿cómo hacer?
Aquí es donde quiero hacer una reflexión junto a usted. Supongamos que uno consigue una red que pide prestada a unos pescadores. Con esa red nos proponemos atrapar mil peces, y cuando escribo atrapar es porque quiero que los capturemos pero no quiero matarlos. La idea será devolverlos al agua tan rápido como nos sea posible, pero antes los vamos a pintar con un color y pigmento de manera tal que no se borre con el agua. Naturalmente, cualquier procedimiento que preserve la marca será equivalente. Para fijar las ideas, digamos que logramos ponerles a todos una marca de color amarillo.
Los devolvemos al agua y esperamos un tiempo razonable. Usted se preguntará: ¿qué quiere decir razonable? Bueno, razonable implicará que les daremos suficiente tiempo como para que vuelvan a mezclarse con todos los peces que quedaron sin pintar, o sea, con el resto de los que habitan la laguna.
Una vez que estamos seguros, volveremos a usar el mismo método anterior (con la red, por ejemplo) y capturamos mil peces otra vez. Queda claro que algunos de los peces que obtenemos ahora estarán pintados y otros no. Supongamos, siempre a los efectos de hacer las cuentas más fáciles, que entre los mil que acabamos de pescar ahora, aparecen sólo diez pintados de amarillo.
De este hecho uno podría inferir lo siguiente: cada mil peces que viven en la laguna hay diez que están pintados de amarillo, o sea, uno de cada cien. Si bien no sabemos cuántos peces hay en la laguna, sabemos que el uno por ciento está pintado de amarillo. Como en total hay mil amarillos, ¿cuántos peces tendría que haber para que el uno por ciento de ese total sea mil? Creo que no se le escapa que esto es –ni más ni menos— que lo que en el colegio llamábamos una ‘regla de tres simple’ o ‘extrapolación lineal’. La respuesta entonces es: en la laguna se puede estimar que en total hay aproximadamente cien mil peces. (Fíjese que mil es el uno por ciento de cien mil, tal como era esperable.)
Este método, obviamente no exacto, provee una estimación, no una certeza. Pero, ante la imposibilidad de contar todos los peces que hay, es preferible tener una idea y este método ciertamente la provee.
Ahora bien: ¿por qué incluí esta forma de estimar que incluso parece tan primitiva? Es que este método, aunque parezca poco creíble, fue utilizado por uno de los mejores matemáticos de la historia: Pierre-Simon Laplace [2]. Las contribuciones de Laplace son (fueron) realmente extraordinarias, no solo en matemática, en particular en el área de probabilidades y la popularización del famoso teorema de Bayes, pero también en astronomía, física y aplicaciones que parecían imposibles en el momento que él las propuso. Pero quiero aprovechar el ejemplo anterior, el de la estimación de cuántos peces hay una laguna, para mostrar lo que hizo Laplace para estimar… ¡la población de Francia en 1783! Obviamente, el método que usamos hoy (censar), era impracticable en ese momento del siglo XVIII. El método que describí más arriba es el que se llama “Captura-Recaptura”. Es muy sencillo, pero requiere que las muestras sean lo suficientemente grandes y elegidas al azar (que es un dato no menor). Es decir, importa ‘mucho’ el tamaño de la muestra y la aleatoriedad. En ese caso, los resultados que se obtienen son verdaderamente notables.
En el caso de la población de Francia, fue necesario tomar dos conjuntos de personas, una después de la otra, pero teniendo cuidado de ‘marcar’ los integrantes de la primera muestra de manera tal de que sean fácilmente reconocibles o distinguibles dentro del grupo que termine integrando la segunda muestra. Por otro lado, usado de esta forma tan sencilla, es necesario suponer que la población que uno quiere estimar no se modificará sustancialmente en el tiempo que transcurra entre la toma de la primera y la segunda muestra. Por otro lado, aunque no lo haya escrito explícitamente, es imprescindible que las personas elegidas tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas en cualquiera de las dos muestras.
Lo que hizo Laplace fue lo siguiente. ¿Cómo elegir y después marcar las personas que formarían parte de la primera muestra? En ese momento en Francia, si bien no existían los censos, cada comunidad/pueblo registraba el número de bebés que nacían cada año. Justamente ellos (los bebés) fueron los integrantes de la primera muestra. Para mejorar la precisión, Laplace promedió el número de nacimientos que se produjeron en Francia durante los dos años que precedieron a la publicación, el año 1783. El dato que utilizó fue el siguiente: 973.054,5 bebés. Sí, aunque parezca ridículo, a los efectos de hacer las cuentas con la mayor precisión posible, el medio bebé lo incluyó porque eso fue lo que le dio el promedio. Para poder encontrar la población total necesitaba estimar la proporción que había entre los bebés recién nacidos y la población en general, y esa proporción es la que daría origen a la segunda muestra que necesitaba.
Si bien no todas las comunidades o poblaciones tenían los datos que él necesitaba, había “intendentes” (por llamarlos de alguna manera) que no solo registraban las poblaciones de cada uno de sus ‘condados’, sino que también anotaban los nacimientos y las muertes que se habían producido en ese año particular. ¡Y ese era el dato que Laplace necesitaba! Esa era la proporción que estaba buscando. Con la colaboración de varias personas, logró juntar los datos de todas esas comunidades. Promedió las proporciones entre la población total y los nacimientos tratando de minimizar los errores que se pudieran producir. No los eliminaba, ciertamente, pero los optimizaba, teniendo en cuenta que diferentes regiones producían números que no parecían ‘aceptables’, algunos incluso de un año a otro. Pero lo que me importa señalar acá, es que el número al que llegó Laplace fue el siguiente: ¡un nacimiento por cada 26 personas! En consecuencia, una población con 52 personas tendría (en promedio) dos nacimientos por año, y una de comunidad de 104 personas, tendría cuatro nacimientos anuales. Creo que la idea está clara.
A partir de acá, Laplace tuvo que aceptar la misma suposición que hicimos más arriba en el caso de los peces en la laguna, y es que la población no cambiaría sustancialmente entre la extracción de la primera y la segunda muestra, asumiendo que los nacimientos y muertes serían equivalentes, y lo mismo con respecto a las proporciones. Y algo más que tuvo que aceptar o incluir entre sus hipótesis (y ciertamente esto ya no es ni era verificable): que los números de nacimientos y muertes se mantendrían constantes a lo largo de las diferentes regiones francesas. Claramente, de todas las suposiciones que tuvo que hacer, esta fue la más ‘opinable’ y de difícil comprobación, pero necesitó usarla porque si no, no hubiera podido llegar a ninguna conclusión.
A partir de acá, el resto resulta sencillo. Le alcanzó con multiplicar 973.045,5 por 26 y eso le dio el tamaño de la población que estaba buscando. El número al que llegó: 25.299.417 habitantes.
No crea que se me escapa que hay múltiples ‘concesiones’ y acuerdos que Laplace tuvo que hacer en el transcurso de la estimación, pero lo mismo sucede en el caso de los peces en la laguna. Claramente, uno podría usar este método de ‘captura-recaptura’ para estimar el número de ballenas en una determinada región o evaluar el número de palomas en la ciudad de Montevideo en Uruguay o Paraná en la Argentina, por poner dos ejemplos cualesquiera. Pero también, usando esta misma metodología uno podría determinar el número de personas que consumen algún tipo de droga (cocaína, por ejemplo), o personas diabéticas en un determinado país.
Los métodos que se usan hoy son mucho más sofisticados y las estimaciones son mucho más eficientes, pero conceptualmente, todas se basan en las ideas expuestas más arriba. Y en definitiva, el problema reside en la recolección de los datos y no en la sofisticación de la matemática necesaria. Aprender a usar una ‘regla de tres simple’ o ‘extrapolar linealmente’ no deja de ser algo que uno aprende en la escuela primaria, ¿no es así?
[1] “¿Cómo estimar el número de peces en una laguna?” La primera parte del texto que figura acá, apareció con ese nombre en la página 132 de “Matemática… ¿estás ahí?”, publicado por la Editorial Siglo XXI.
[2] Las ideas (y datos) que aparecen sobre la aplicación de esta metodología usada por Jean Pierre Fermat, le pertenecen a Jaume Amorós, y fue publicado en un artículo de la Royal Statistical Society, el 16 de julio del 2014 y el pdf se puede encontrar acá: https://rss.onlinelibrary.wile
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